Внешняя алгебра

Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством V {displaystyle V} обычно обозначается ⋀ V . {displaystyle igwedge V.}

Определение

Внешняя алгебра ⋀ V {displaystyle igwedge V} векторного пространства   V {displaystyle V} над полем   K {displaystyle K} — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком ∧ {displaystyle wedge } , а порождающими элементами являются 1 , e 1 , … , e n , {displaystyle 1,mathbf {e} _{1},dots ,mathbf {e} _{n},} где e 1 , … , e n {displaystyle mathbf {e} _{1},dots ,mathbf {e} _{n}} — базис пространства   V . {displaystyle V.} Определяющие соотношения имеют следующий вид:

• e i ∧ e j = − e j ∧ e i ( i , j = 1 , … , n ) , e i ∧ e i = 0 ; {displaystyle mathbf {e} _{i}wedge mathbf {e} _{j}=-mathbf {e} _{j}wedge mathbf {e} _{i},(i,j=1,dots ,n),,mathbf {e} _{i}wedge mathbf {e} _{i}=0;}
• e i ∧ 1 = 1 ∧ e i = e i ( i = 1 , … , n ) , 1 ∧ 1 = 1. {displaystyle mathbf {e} _{i}wedge 1=1wedge mathbf {e} _{i}=mathbf {e} _{i},(i=1,dots ,n),,1wedge 1=1.}

При этом внешняя алгебра не зависит от выбора базиса.

Связанные определения

• Операция ∧ {displaystyle wedge } называется внешним произведением.
• Подпространство ⋀ r V {displaystyle igwedge olimits ^{r}V} (для r = 0 , 1 , … , n {displaystyle r=0,1,dots ,n} ) в ⋀ V , {displaystyle igwedge V,} порождённое элементами вида e i 1 ∧ ⋯ ∧ e i r , {displaystyle e_{i_{1}}wedge dots wedge e_{i_{r}},} называется r {displaystyle r} -ой внешней степенью пространства V . {displaystyle V.}

Свойства

• Алгебра ⋀ V {displaystyle igwedge V} имеет структуру градуированной алгебры:

⋀ V = ⨁ r = 0 ∞ ⋀ r V {displaystyle igwedge V=igoplus _{r=0}^{infty }igwedge olimits ^{r}V}

• Имеют место равенства:

dim ⁡ ⋀ r V = C n r , {displaystyle operatorname {dim} igwedge olimits ^{r}V=C_{n}^{r},} в частности ⋀ r V = 0 {displaystyle igwedge olimits ^{r}V=0} при r > n , {displaystyle r>n,} а также dim ⁡ ⋀ V = 2 n . {displaystyle operatorname {dim} igwedge V=2^{n}.}

• Имеет место градуированная коммутативность (суперкоммутативность) внешнего умножения: u ∧ v = ( − 1 ) r s v ∧ u {displaystyle uwedge v=(-1)^{rs}vwedge u} , если u ∈ ⋀ r V , v ∈ ⋀ s V . {displaystyle uin igwedge olimits ^{r}V,vin igwedge olimits ^{s}V.}
• Элементы пространства ⋀ r V {displaystyle igwedge olimits ^{r}V} называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над V , {displaystyle V,} с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор: ( a ∧ b ) i j = a i b j − a j b i . {displaystyle (mathbf {a} wedge mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.}
  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу ( a ∧ b ) i j = ( a i b j − a j b i ) / 2. {displaystyle (mathbf {a} wedge mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.}
• Внешний квадрат произвольного вектора ω ∈ ⋀ 1 V {displaystyle omega in igwedge olimits ^{1}V} нулевой:

ω ∧ 2 = ω ∧ ω = 0. {displaystyle omega ^{wedge 2}=omega wedge omega =0.}

• Следует отметить, что для r-векторов при чётном r это неверно. Например

( e 1 ∧ e 2 + e 3 ∧ e 4 ) ∧ 2 = 2 ⋅ e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 . {displaystyle (mathbf {e} _{1}wedge mathbf {e} _{2}+mathbf {e} _{3}wedge mathbf {e} _{4})^{wedge 2}=2cdot mathbf {e} _{1}wedge mathbf {e} _{2}wedge mathbf {e} _{3}wedge mathbf {e} _{4}.}

• Линейно независимые системы из r {displaystyle r} векторов x 1 , … , x r {displaystyle x_{1},dots ,x_{r}} и y 1 , … , y r {displaystyle y_{1},dots ,y_{r}} из V {displaystyle V} порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r {displaystyle r} -векторы x 1 ∧ ⋯ ∧ x r {displaystyle x_{1}wedge dots wedge x_{r}} и y 1 ∧ ⋯ ∧ y r {displaystyle y_{1}wedge dots wedge y_{r}} пропорциональны.