Теорема Клини о неподвижной точке

Теорема Клини о неподвижной точке — утверждение о существовании наименьшей неподвижной точки у всякого непрерывного по Скотту отображения, отображающего полное частично упорядоченное множество на себя. Результат относят к Стивену Клини, используется в теории областей (англ. domain theory), теории решёток, теории графов, теории автоматов.

Формулировка

Любое непрерывное по Скотту отображение f {displaystyle f} полного частично упорядоченного множества ( M , ⩽ ) {displaystyle (M,leqslant )} в себя имеет единственную наименьшую неподвижную точку.

Пояснения

Непрерывными по Скотту отображениями полных частично упорядоченных множеств считаются отображения, образ точной верхней грани любой неубывающей последовательности a 1 , . . . , a n , . . . {displaystyle a_{1},...,a_{n},...} элементов множества M 1 {displaystyle M_{1}} при которых равен точной верхней грани последовательности образов f ( a 1 ) , . . . , f ( a n ) , . . . {displaystyle f(a_{1}),...,f(a_{n}),...} , то есть справедливо равенство f ( sup a n ) = sup f ( a n ) {displaystyle f(sup a_{n})=sup f(a_{n})} .