Главная
Точка Жергонна — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружностью.
Обычно обозначается G e {displaystyle Ge} , G {displaystyle G} , J {displaystyle J} или K {displaystyle K} .
Свойства
- Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
- Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
- Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
- Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен
L 2 = r 2 − 3 p 2 r 2 ( 4 R + r ) 2 {displaystyle L^{2}=r^{2}-{frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}}
- Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен
L 2 = R 2 − 4 p 2 r ( R + r ) ( 4 R + r ) 2 {displaystyle L^{2}=R^{2}-{frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2}}}}
- Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.
- Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.
Треугольник Жергонна
Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим TA, TB и TC. Точка TA лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.
Свойства
- Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7).
- Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна.
- Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
- Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC.