Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




25.06.2022


24.06.2022


24.06.2022


24.06.2022


23.06.2022





Яндекс.Метрика





Точка Фейербаха

24.01.2021

Точка Фейербаха — точка касания вписанной окружности в окружность девяти точек треугольника. Точка Фейербаха является замечательной точкой треугольника, что означает, что её определение не зависит от расположения и размеров треугольника. Точка внесена с кодом X(11) в энциклопедию центров треугольника Кларка Кимберлинга и названа именем Карла Вильгельма Фейербаха.

Теорема Фейербаха, опубликованная Фейербахом в 1822 году, утверждает общее утверждение, что окружность девяти точек касается трёх вневписанных окружностей треугольника, а также его вписанной окружности. Очень короткое доказательство данной теоремы базируется на теореме Кейси о касательных к двум окружностям четырёх окружностей, касающихся (изнутри) пятой окружности, которую опубликовал Джон Кейси в 1866 году. Теорема Фейербаха использовалась также как тестовый случай для [Автоматическое доказательство|автоматического доказательства]]. Три точки касания внеописанных окружностей образуют треугольник Фейербаха данного треугольника.

Построение

Вписанная окружность треугольника ABC — это окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Её центр находится в точке, в которой пересекаются три биссектрисы внутренних углов треугольника.

Окружность девяти точек — это другая окружность, определённая для треугольника. Она так называется, поскольку проходит через девять важных точек треугольника, среди которых наиболее простыми по построению являются середины сторон треугольника. Окружность девяти точек проходит через эти три середины сторон. Таким образом, это описанная окружность серединного треугольника.

Эти две окружности встречаются в одной точке, где касаются друг друга. Эта точка касания является точкой Фейербаха треугольника.

Кроме вписанной окружности треугольника с ним связаны три другие, вневписанные окружности. Это окружности, которые касаются трёх продолжений сторон треугольника. Каждая вневписанная окружность касается с внешней стороны одной стороны треугольника и двух продолжений других сторон. Подобно вписанной окружности вневписанные окружности касаются окружности девяти точек. Их точки касания с окружностью девяти точек образует треугольник Фейербаха.

Свойства

Точка Фейербаха лежит на прямой, проходящей через центры окружностей, которые и определяют эту точку. Этими центрами являются центр вписанной окружности и центр девяти точек треугольника.

Пусть x {displaystyle x} , y {displaystyle y} и z {displaystyle z} будут тремя расстояниями от точки Фейербаха до вершин серединного треугольника (середины сторон BC=a, CA=b и AB=c исходного треугольника). Тогда,

x + y + z = 2 max ( x , y , z ) , {displaystyle x+y+z=2max(x,y,z),}

или, эквивалентно, наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. В частности, мы имеем x = R 2 O I | b − c | , y = R 2 O I | c − a | , z = R 2 O I | a − b | , {displaystyle x={frac {R}{2OI}}|b-c|,,y={frac {R}{2OI}}|c-a|,z={frac {R}{2OI}}|a-b|,} где O является центром описанной окружности треугольника, а I является его центром вписанной окружности.

Последнее свойство также верно для точек касания любых вневписанных окружностей с окружностью девяти точек: наибольшее расстояние от этой точки касания до середины стороны исходного треугольника равно сумме расстояний до двух других середин сторон.

Если вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA, AB в точках X, Y и Z соответственно, а серединами этих сторон являются точки P, Q и R, то с точкой Фейербаха F треугольники FPX, FQY и FRZ подобны треугольникам AOI, BOI, COI соответственно.

Точка Фейербаха и Прямые Симсона

Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность - по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной онружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точки Фейербаха могут быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности Эйлера.

Точки Фейербаха, как ортополюсы

В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно I , J A , J B , J C {displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C}} , касающиеся соответственно 3 разных сторон a , b , c {displaystyle a,b,c} треугольника или их продолжений, - называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers) . Это замечание важно для следующего утверждения.

Точки Фейербаха треугольника являются ортополюсами данного треугольника, если в качестве прямых для этих ортополюсов взяты диаметры описанной окружности, проходящие через соответствующие трехкасательные центры .

Координаты

Трилинейные координаты точки Фейербаха равны

1 − cos ⁡ ( B − C ) : 1 − cos ⁡ ( C − A ) : 1 − cos ⁡ ( A − B ) . {displaystyle 1-cos(B-C):1-cos(C-A):1-cos(A-B).}

Её барицентрические координаты равны

( s − a ) ( b − c ) 2 : ( s − b ) ( c − a ) 2 : ( s − c ) ( a − b ) 2 , {displaystyle (s-a)(b-c)^{2}:(s-b)(c-a)^{2}:(s-c)(a-b)^{2},}

где s — полупериметр (a+b+c)/2 треугольника.

Три прямые из вершин исходного треугольника через соответствующие вершины треугольника Фейербаха пересекаются в другой замечательной точке треугольника, перечисленной под номером X(12) в энциклопедии замечательных точек треугольника. Её трилинейные координаты равны:

1 + cos ⁡ ( B − C ) : 1 + cos ⁡ ( C − A ) : 1 + cos ⁡ ( A − B ) . {displaystyle 1+cos(B-C):1+cos(C-A):1+cos(A-B).}