Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы — это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает. Вероятность безотказной работы вместе с интенсивностью отказов определяет безотказность объекта (при этом вероятность безотказной работы обратна вероятности отказа объекта).

Показатель вероятности безотказной работы определяется статистической оценкой: P ( t ) = N 0 − n ( t ) N 0 = 1 − n ( t ) N 0 {displaystyle P(t)={frac {N_{0}-n(t)}{N_{0}}}=1-{frac {n(t)}{N_{0}}}} где N 0 {displaystyle N_{0}} — исходное число работоспособных объектов,
n ( t ) {displaystyle n(t)} — число отказавших объектов за время t {displaystyle t} .

Вероятность безотказной работы группы объектов равна произведению вероятностей безотказной работы каждого объекта в этой группе: P ( t ) = P 1 ( t ) ⋅ P 2 ( t ) ⋅ . . . ⋅ P n ( t ) = ∏ k = 1 n P k ( t ) {displaystyle P(t)=P_{1}(t)cdot P_{2}(t)cdot ...cdot P_{n}(t)=prod _{k=1}^{n}P_{k}(t)} где n — число объектов в группе.

Чем больше объектов в группе, тем ниже надежность всей группы, так как если P 1 ( t ) = P 2 ( t ) = . . . = P n ( t ) {displaystyle P_{1}(t)=P_{2}(t)=...=P_{n}(t)} , то тогда P ( t ) = [ P 1 ( t ) ] n {displaystyle P(t)=[P_{1}(t)]^{n}} .

Среднее время безотказной работы системы

Среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) T 0 {displaystyle T_{0}} — для невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем — это математическое ожидание времени работы системы до отказа:

T 0 = M = ∫ 0 ∞ t ⋅ f ( t ) d t = − ∫ 0 ∞ t d P ( t ) {displaystyle T_{0}=M=int limits _{0}^{mathcal {infty }}tcdot f(t)dt=-int limits _{0}^{mathcal {infty }}tdP(t)}

Пределы несобственного интеграла изменяются от 0 до ∞, так как время не может быть отрицательным; f ( t ) {displaystyle f(t)} — есть плотность вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента. P ( T ) {displaystyle P(T)} — есть вероятность безотказной работы в интервале времени 0 < t < T {displaystyle 0<t<T} . В начальный момент вероятность Р(T) равна единице. В конце времени работы системы вероятность P ( T ) {displaystyle P(T)} равна нулю. Вероятность P ( T ) {displaystyle P(T)} связана с плотностью вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента следующим образом:

f ( t ) = − d P ( t ) d t {displaystyle f(t)=-{frac {dP(t)}{dt}}} .

Проинтегрировав выражение для T 0 {displaystyle T_{0}} по частям, получим:

T 0 = ∫ 0 ∞ P ( t ) d t {displaystyle T_{0}=int limits _{0}^{mathcal {infty }}P(t)dt}

Графически полученное выражение для T 0 {displaystyle T_{0}} представлено на рисунке как площадь под графиком вероятности безотказной работы Р(T) от времени T. В начальный момент вероятность Р(T) равна единице. В конце времени работы системы вероятность P(T) равна нулю.

Здесь T ≥ 0 {displaystyle Tgeq 0} — случайное время работы системы до отказа или наработка на отказ для невосстанавливаемого элемента или системы.

Типичные распределения времени безотказной работы

• Экспоненциальное распределение: f ( t ) = λ e − λ t {displaystyle f(t)=lambda e^{-lambda t}} , λ > 0 {displaystyle lambda >0} , t ⩾ 0 {displaystyle tgeqslant 0} .
• Гамма-распределение: f ( t ) = λ ( λ t ) α − 1 e − λ t Γ ( α ) {displaystyle f(t)={frac {lambda (lambda t)^{alpha -1}e^{-lambda t}}{Gamma (alpha )}}} , λ , α > 0 {displaystyle lambda ,alpha >0} , t ⩾ 0 {displaystyle tgeqslant 0} .
• Распределение Вейбулла: f ( t ) = λ α t α − 1 e − λ t α {displaystyle f(t)=lambda alpha t^{alpha -1}e^{-lambda t^{alpha }}} , λ , α > 0 {displaystyle lambda ,alpha >0} , t ⩾ 0 {displaystyle tgeqslant 0} .
• Модифицированное распределение экстремального значения: f ( t ) = 1 λ exp ⁡ [ − e t − 1 λ + t ] {displaystyle f(t)={frac {1}{lambda }}exp {left[-{frac {e^{t}-1}{lambda }}+t ight]}} , λ > 0 {displaystyle lambda >0} , t ⩾ 0 {displaystyle tgeqslant 0} .
• Усечённое нормальное распределение: f ( t ) = 1 a σ 2 π exp ⁡ [ − ( t − μ ) 2 2 σ 2 ] {displaystyle f(t)={frac {1}{asigma {sqrt {2pi }}}}exp {left[-{frac {(t-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}} ight]}} , σ > 0 {displaystyle sigma >0} , − ∞ < μ < ∞ {displaystyle -infty <mu <infty } , 0 < t < ∞ {displaystyle 0<t<infty } .
• Логарифмически-нормальное распределение: f ( t ) = 1 t σ 2 π exp ⁡ [ − ( lg ⁡ t − μ ) 2 2 σ 2 ] {displaystyle f(t)={frac {1}{tsigma {sqrt {2pi }}}}exp {left[-{frac {(lg {t}-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}} ight]}} , σ > 0 {displaystyle sigma >0} , − ∞ < μ < ∞ {displaystyle -infty <mu <infty } , t ⩾ 0 {displaystyle tgeqslant 0} .