Главная
Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна
lim ε → 0 ln ( N ε ) − ln ( ε ) {displaystyle lim limits _{varepsilon o 0}{frac {ln(N_{varepsilon })}{-ln(varepsilon )}}} ,где N ε {displaystyle N_{varepsilon }} — минимальное число множеств диаметра ε {displaystyle varepsilon } , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.
Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.
Примеры
- размерность конечного множества равна нулю, так как для него ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} не превосходит количества элементов в нём.
- размерность отрезка равна 1, так как необходимо ⌈ a / ϵ ⌉ {displaystyle lceil a/epsilon ceil } отрезков длины ϵ {displaystyle epsilon } , чтобы покрыть отрезок длины a {displaystyle a} . Таким образом, lim ϵ → 0 ln ( N ϵ ) − ln ( ϵ ) = lim ϵ → 0 ln a − ln ϵ − ln ϵ = 1 {displaystyle lim limits _{epsilon o 0}{frac {ln(N_{epsilon })}{-ln(epsilon )}}=lim limits _{epsilon o 0}{frac {ln a-ln epsilon }{-ln epsilon }}=1} ,
- размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю 1 / n {displaystyle 1/n} , необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной a {displaystyle a} , ведет себя примерно как a 2 n 2 {displaystyle a^{2}n^{2}} .
- размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна ln 4 / ln 3 {displaystyle ln 4/ln 3} .
Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра 1 / n {displaystyle 1/n} , нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра 2 / n {displaystyle 2/n} . Поэтому для отрезка имеем ρ ( n ) ≈ 2 ρ ( n / 2 ) {displaystyle ho (n)approx 2 ho (n/2)} . То есть, при увеличении n {displaystyle n} в два раза ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} увеличивается тоже в два раза. Иными словами, ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} — линейная функция.
Для квадрата аналогичное рассуждение дает ρ ( n ) ≈ 4 ρ ( n / 2 ) {displaystyle ho (n)approx 4 ho (n/2)} . То есть, при увеличении n {displaystyle n} в два раза ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} увеличивается в 4 раза. Иными словами, ρ ( n ) {displaystyle ho (n)} — квадратичная функция. Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё ρ ( n ) ≈ 4 ρ ( n / 3 ) {displaystyle ho (n)approx 4 ho (n/3)} . Подставляя n = 3 k {displaystyle n=3^{k}} , получаем ρ ( 3 k ) ≈ 4 ρ ( 3 k − 1 ) ≈ 4 2 ρ ( 3 k − 2 ) ≈ ⋯ ≈ 4 k ρ ( 1 ) = 4 log 3 n ρ ( 1 ) = n ln 4 / ln 3 ρ ( 1 ) {displaystyle ho (3^{k})approx 4 ho (3^{k-1})approx 4^{2} ho (3^{k-2})approx dots approx 4^{k} ho (1)=4^{log _{3}n} ho (1)=n^{ln 4/ln 3} ho (1)} . Отсюда следует, что размерность равна ln 4 / ln 3 {displaystyle ln 4/ln 3} .Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет 4 n {displaystyle 4^{n}} равных отрезков, длиной 3 − n {displaystyle 3^{-n}} . Возьмём за ε отрезок длиной 3 − n {displaystyle 3^{-n}} , тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится 4 n {displaystyle 4^{n}} отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→ ∞ {displaystyle infty } . Получим
lim ϵ → 0 ln ( N ϵ ) − ln ( ϵ ) = lim n → ∞ ln ( 4 n ) − ln ( 3 − n ) = ln 4 ln 3 {displaystyle lim limits _{epsilon o 0}{frac {ln(N_{epsilon })}{-ln(epsilon )}}=lim limits _{n o infty }{frac {ln(4^{n})}{-ln(3^{-n})}}={frac {ln 4}{ln 3}}}- размерность Минковского множества { 0 , 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , … } {displaystyle {0,1,{frac {1}{2}},{frac {1}{3}},{frac {1}{4}},dots }} равна 1/2.
Свойства
- Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
- Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
- Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.