Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




26.05.2022


25.05.2022


25.05.2022


25.05.2022


25.05.2022





Яндекс.Метрика





Вариация Фреше

23.01.2021

Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.

Определение

Вариация Фреше определяется как:

F ( f , D n ) = d e f sup ε sup Π | ∑ r 1 = 0 l 1 − 1 ∑ r 2 = 0 l 2 − 1 … ∑ r n = 0 l n − 1 ε n ( r 1 ) ε n ( r 2 ) … ε n ( r n ) × {displaystyle F(f,;D_{n}),{stackrel {mathrm {def} }{=}}sup _{varepsilon },sup _{Pi }left|sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}sum _{r_{2}=0}^{l_{2}-1}ldots sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}varepsilon _{n}^{(r_{1})}varepsilon _{n}^{(r_{2})}ldots varepsilon _{n}^{(r_{n})} imes ight.} × Δ h 1 ( r 1 ) h 2 ( r 2 ) … h n ( r n ) ( f ; x 1 ( r 1 ) , x 2 ( r 2 ) , … , x n ( r n ) ) | , {displaystyle imes Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;;x_{1}^{(r_{1})},;x_{2}^{(r_{2})},;ldots ,;x_{n}^{(r_{n})}){Bigg |},}

где f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {displaystyle f(x)=f(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{n})} — действительнозначная функция, заданная на n {displaystyle n} -мерном параллелепипеде D n {displaystyle D_{n}}

D n = [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × … × [ a n , b n ] ; {displaystyle D_{n}=[a_{1},;b_{1}] imes [a_{2},;b_{2}] imes ldots imes [a_{n},;b_{n}];}

Π {displaystyle Pi } — произвольное разбиение параллелепипеда D n {displaystyle D_{n}} гиперплоскостями x s = x s ( r s ) {displaystyle x_{s}=x_{s}^{(r_{s})}} такими, что

x s ( 0 ) = a s {displaystyle x_{s}^{(0)}=a_{s}} , x s ( l s ) = b s {displaystyle x_{s}^{(l_{s})}=b_{s}} и x s ( r s ) < x s ( r s + 1 ) {displaystyle x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)}} , где r s = 0 , 1 , 2 , … , l s {displaystyle r_{s}=0,;1,;2,;ldots ,;l_{s}} , s = 1 , 2 , … , n {displaystyle s=1,;2,;ldots ,;n} .

h s ( r s ) = x s ( r s + 1 ) − x s ( r s ) {displaystyle h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}} — шаг разбиения;

Δ h k ( f , x ) = f ( x 1 , x 2 , … , x k + h k , … , x n ) − f ( x 1 , x 2 , … , x k , … , x n ) {displaystyle Delta _{h_{k}}(f,;x)=f(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{k}+h_{k},;ldots ,;x_{n})-f(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{k},;ldots ,;x_{n})} ( k = 1 , 2 , … , n {displaystyle k=1,;2,;ldots ,;n} ) — приращение функции по x k {displaystyle x_{k}} -ой координате;

Δ h 1 h 2 … h k ( f ; x ) = Δ h k ( Δ h 1 h 2 … h k − 1 ; x ) {displaystyle Delta _{h_{1}h_{2}ldots h_{k}}(f;;x)=Delta _{h_{k}}(Delta _{h_{1}h_{2}ldots h_{k-1}};;x)} — обобщённое приращение функции по первым k {displaystyle k} координатам ( k = 2 , 3 , … , n {displaystyle k=2,;3,;ldots ,;n} );

ε k ( r k ) = ± 1 {displaystyle varepsilon _{k}^{(r_{k})}=pm 1} ( k = 1 , 2 , … , n {displaystyle k=1,;2,;ldots ,;n} ) произвольным образом.

Применение

Если F ( f ; D n ) < ∞ {displaystyle F(f;;D_{n})<infty } , то говорят, что функция f ( x ) {displaystyle f(x)} имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на D n {displaystyle D_{n}} . Класс всех таких функций обозначается через F ( D n ) {displaystyle F(D_{n})} .

При n = 2 {displaystyle n=2} этот класс был введён М. Фреше в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала U ( φ 1 , φ 2 ) {displaystyle U(varphi _{1},varphi _{2})} в пространстве непрерывных на квадрате Q 2 = [ a , b ] × [ a , b ] {displaystyle Q_{2}=[a,;b] imes [a,;b]} функций вида φ 1 ( x 1 ) φ 2 ( x 2 ) {displaystyle varphi _{1}(x_{1})varphi _{2}(x_{2})} . Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

U ( φ 1 , φ 2 ) = ∫ a b ∫ a b φ 1 ( x 1 ) φ 2 ( x 2 ) d x l d x 2 u ( x 1 , x 2 ) , {displaystyle U(varphi _{1},;varphi _{2})=int limits _{a}^{b}int limits _{a}^{b}varphi _{1}(x_{1})varphi _{2}(x_{2}),d_{x_{l}}d_{x_{2}}u(x_{1},;x_{2}),}

где u ( x 1 , x 2 ) ∈ F ( Q 2 ) {displaystyle u(x_{1},;x_{2})in F(Q_{2})} , u ( a , x 2 ) ≡ u ( x 1 , b ) ≡ 0 {displaystyle u(a,;x_{2})equiv u(x_{1},;b)equiv 0} .

Позднее было показано, что для 2 π {displaystyle 2pi } -периодических функций класса f ( Q n ) {displaystyle f(Q_{n})} ( Q n = [ 0 , 2 π ] × … × [ 0 , 2 π ] {displaystyle Q_{n}=[0,;2pi ] imes ldots imes [0,;2pi ]} ) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье. Так, например, если f ( x ) ∈ F ( Q n ) {displaystyle f(x)in F(Q_{n})} , n = 2 , 3 , … {displaystyle n=2,;3,;ldots } , то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции f ( x ) {displaystyle f(x)} в каждой точке x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {displaystyle x=(x_{1},;x_{2},ldots ,;x_{n})} сходятся к числу

1 2 n ∑ f ( x 1 ± 0 , x 2 ± 0 , … , x n ± 0 ) , {displaystyle {frac {1}{2^{n}}}sum f(x_{1}pm 0,;x_{2}pm 0,;ldots ,;x_{n}pm 0),}

где суммирование распространяется на все 2 n {displaystyle 2^{n}} возможных комбинаций знаков ± {displaystyle pm } . При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.