Гиперциклический оператор

Пусть X {displaystyle X} — топологическое векторное пространство (например, банахово пространство). Линейный непрерывный оператор T : X → X {displaystyle T:X ightarrow X} называется гиперциклическим, если существует элемент x ∈ X {displaystyle xin X} , такой что множество { T n x , n = 0 , 1 , 2 , . . . } {displaystyle left{T^{n}x,n=0,1,2,... ight}} плотно в X {displaystyle X} . Этот элемент x {displaystyle x} называется гиперциклическим вектором для оператора T {displaystyle T} .

Понятие гиперцикличности является частным случаем более широкого понятия топологической транзитивности.

Примеры

Первый пример гиперциклического оператора получил Биркхоф в 1929 году.

В 1969 году Ролевич доказал, что гиперцикличен оператор обратного сдвига в пространстве l 2 {displaystyle l^{2}} , умноженный на константу λ : | λ | > 1 {displaystyle lambda :|lambda |>1} , переводящий последовательность ( a 1 , a 2 , a 3 , … ) ∈ l 2 {displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},ldots )in l^{2}} в последовательность ( λ a 2 , λ a 3 , λ a 4 , … ) ∈ l 2 {displaystyle (lambda a_{2},lambda a_{3},lambda a_{4},ldots )in l^{2}} .

В 1988 году Чарльз Рид придумал пример оператора на банаховом пространстве l 1 {displaystyle l^{1}} , такой, что все его ненулевые вектора гиперциклические. Это контрпример к известной проблеме существования инвариантного подпространства для банаховых пространств. Для гильбертовых пространств проблема остается открытой.