Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




25.05.2022


25.05.2022


25.05.2022


25.05.2022


23.05.2022





Яндекс.Метрика





Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

22.01.2021

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.

Скалярные операторы

Пусть k {displaystyle Bbbk } — поле, A {displaystyle A} — алгебра над полем k {displaystyle Bbbk } , коммутативная и с единицей и Δ : A → A {displaystyle Delta colon A o A} — k {displaystyle Bbbk } -линейное отображение, Δ ∈ H o m k ( A , A ) {displaystyle Delta in mathrm {Hom} _{Bbbk }(A,A)} . Всякий элемент алгебры a ∈ A {displaystyle ain A} можно понимать как оператор умножения: a ( b ) = a b ,   b ∈ A {displaystyle a(b)=ab, bin A} . Операторы a {displaystyle a} и Δ {displaystyle Delta } , вообще говоря, не коммутируют и равенство a ∘ Δ − Δ ∘ a = [ a , Δ ] = 0 {displaystyle acirc Delta -Delta circ a=[a,Delta ]=0} будет выполняться в том и только том случае, когда Δ {displaystyle Delta } — A {displaystyle A} -гомоморфизм.

Определение 1. Δ ∈ H o m k ( A , A ) {displaystyle Delta in mathrm {Hom} _{Bbbk }(A,A)} называется дифференциальным оператором (ДО) порядка ≤ n {displaystyle leq n} из A {displaystyle A} в A {displaystyle A} , если для любых a 0 , … , a n ∈ A {displaystyle a_{0},dots ,a_{n}in A}

[ a n , [ a n − 1 , [ … [ a 0 , Δ ] … ] ] ] = 0. {displaystyle [a_{n},[a_{n-1},[ldots [a_{0},Delta ]ldots ]]]=0.}

Множество всех ДО порядка ≤ n {displaystyle leq n} из A {displaystyle A} в A {displaystyle A} обозначается D i f f n A {displaystyle mathrm {Diff} _{n}A} . Сумма двух ДО порядка ≤ n {displaystyle leq n} будет снова ДО порядка ≤ n {displaystyle leq n} и множество D i f f n A {displaystyle mathrm {Diff} _{n}A} устойчиво относительно как левого, так и правого умножения на элементы алгебры A {displaystyle A} , поэтому оно снабжается естественной структурой бимодуля над A {displaystyle A} .

Дифференцирования

Точками алгебры A {displaystyle A} называются k {displaystyle Bbbk } -гомоморфизмы из A {displaystyle A} в k {displaystyle Bbbk } . Обозначим множество всех точек алгебры A {displaystyle A} , снабженное топологией Зарисского, через | A | {displaystyle vert Avert } . Элементы алгебры A {displaystyle A} можно понимать как функции на пространстве | A | {displaystyle vert Avert } , положив a ( z ) = z ( a ) ,   z ∈ | A | {displaystyle a(z)=z(a), zin vert Avert } .

Определение 2. Отображение Δ z : A → k {displaystyle Delta _{z}colon A o Bbbk } называется касательным вектором к пространству | A | {displaystyle vert Avert } в~точке z ∈ | A | {displaystyle zin vert Avert } , если оно удовлетворяет правилу Лейбница в этой точке:

Δ z ( f g ) = f ( z ) Δ z ( g ) + g ( z ) Δ z ( f ) , f , g ∈ A . {displaystyle Delta _{z}(fg)=f(z)Delta _{z}(g)+g(z)Delta _{z}(f),quad f,gin A.}

Множество T z | A | {displaystyle T_{z}vert Avert } всех касательных векторов в~точке z ∈ | A | {displaystyle zin vert Avert } обладает естественной структурой векторного пространства над k {displaystyle Bbbk } . Оно называется касательным пространством пространства | A | {displaystyle vert Avert } в точке z {displaystyle z} .

Определение 3. Отображение Δ : A → A {displaystyle Delta colon A o A} называется дифференцированием алгебры A {displaystyle A} со значениями в A {displaystyle A} , если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

Δ ( f g ) = f Δ ( g ) + g Δ ( f ) , f , g ∈ A . {displaystyle Delta (fg)=fDelta (g)+gDelta (f),quad f,gin A.}

Множество D ( A ) {displaystyle D(A)} всех дифференцирований алгебры A {displaystyle A} со значениями в A {displaystyle A} обладает естественной структурой левого A {displaystyle A} -модуля. (Правое умножение не сохраняет это множество.) Всякое дифференцирование Δ {displaystyle Delta } определяет семейство касательных векторов Δ z {displaystyle Delta _{z}} для всех точек z ∈ | A | {displaystyle zin vert Avert } : Δ z ( f ) = ( Δ ( f ) ) ( z ) {displaystyle Delta _{z}(f)=(Delta (f))(z)} .

Дифференцирования, естественно, являются ДО порядка ≤ 1 {displaystyle leq 1} :

D ( A ) = { Δ ∈ D i f f 1 A   |   Δ ( k ) = 0   ∀ k ∈ k } {displaystyle D(A)={Delta in mathrm {Diff} _{1}A vert Delta (k)=0 forall kin Bbbk }} .

Определен естественный изоморфизм левых A {displaystyle A} -модулей

D i f f 1 A = D ( A ) + A . {displaystyle mathrm {Diff} _{1}A=D(A)+A.}

Гладкие функции

Если A = C ∞ ( M ) {displaystyle A=C^{infty }(M)} — алгебра гладких функций на многообразии M {displaystyle M} , то | C ∞ ( M ) | {displaystyle vert C^{infty }(M)vert } естественным образом наделяется структурой гладкого многообразия и оказывается, что | C ∞ ( M ) | = M {displaystyle vert C^{infty }(M)vert =M} .

Теорема. Пусть Δ ∈ D i f f l A ,   ∇ ∈ D ( A ) {displaystyle Delta in mathrm {Diff} _{l}A, abla in mathrm {D} (A)} и x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},dots ,x_{n}} — система локальных координат в некоторой окрестности U ⊂ M {displaystyle Usubset M} . Тогда ограничения Δ {displaystyle Delta } и ∇ {displaystyle abla } на U {displaystyle U} могут быть записаны в следующем виде

∇ | U = ∑ i = 0 n α i ∂ ∂ x i , α i ∈ C ∞ ( U ) {displaystyle abla {ig |}_{U}=sum _{i=0}^{n}alpha _{i}{dfrac {partial }{partial x_{i}}},quad alpha _{i}in C^{infty }(U)} Δ | U = ∑ | σ | = 0 l α σ ∂ | σ | ∂ x σ , α σ ∈ C ∞ ( U ) {displaystyle Delta {ig |}_{U}=sum _{|sigma |=0}^{l}alpha _{sigma }{dfrac {partial ^{|sigma |}}{partial x^{sigma }}},quad alpha _{sigma }in C^{infty }(U)}

Иными словами, для алгебры гладких функций на М "алгебраическое" определение ДО совпадает с классическим, а дифференцирования алгебры C ∞ ( M ) {displaystyle C^{infty }(M)} — это векторные поля на M {displaystyle M} .

Общий случай

Пусть P ,   Q {displaystyle P, Q} — модули над A {displaystyle A} . Определения 1 и 3 без изменений переносятся на этот случай:

Определение 4. k {displaystyle Bbbk } -гомоморфизм Δ : Q → P {displaystyle Delta colon Q o P} называется линейным дифференциальным оператором порядка ≤ n {displaystyle leq n} из Q {displaystyle Q} в~ P {displaystyle P} , если для любых a 0 , … , a n ∈ A {displaystyle a_{0},dots ,a_{n}in A}

[ a n , [ a n − 1 , [ … [ a 0 , Δ ] … ] ] ] = 0 {displaystyle [a_{n},[a_{n-1},[ldots [a_{0},Delta ]ldots ]]]=0}

Определение 5. Отображение Δ : A → A {displaystyle Delta colon A o A} называется дифференцированием алгебры A {displaystyle A} со значениями в P {displaystyle P} , если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

Δ ( f g ) = f Δ ( g ) + g Δ ( f ) , f , g ∈ A . {displaystyle Delta (fg)=fDelta (g)+gDelta (f),quad f,gin A.}

Множество D i f f n ( P , Q ) {displaystyle mathrm {Diff} _{n}(P,Q)} всех ДО порядка ≤ n {displaystyle leq n} из Q {displaystyle Q} в P {displaystyle P} является бимодулем над A {displaystyle A} , а множество D ( P ) {displaystyle mathrm {D} (P)} всех дифференцирований A {displaystyle A} в P {displaystyle P} — левым A {displaystyle A} -модулем.


Если A = C ∞ ( M ) {displaystyle A=C^{infty }(M)} — алгебра гладких функций на многообразии M {displaystyle M} , то проективные конечнопорождённые A {displaystyle A} -модули есть не что иное, как модули сечений конечномерных векторных расслоений над M {displaystyle M} . В этом случае определение 4 описывает ДО на векторнозначных функциях, переводящие их в векторнозначные функции, а определение 5 — векторнозначные векторные поля.

Представляющие объекты и геометризация

Функторы D i f f n ( P , ) {displaystyle mathrm {Diff} _{n}(P,quad )} и D = D ( ) {displaystyle mathrm {D} =mathrm {D} (quad )} представимы:

Теорема. 1. Существуют единственные A {displaystyle A} -модуль Λ {displaystyle Lambda } и дифференцирование d : A → Λ {displaystyle dcolon A o Lambda } , такие, что для любого A {displaystyle A} -модуля Q {displaystyle Q} имеет место естественный изоморфизм

D ( Q ) = H o m A ( Λ , Q ) , H o m A ( Λ , Q ) ∋ h ↔ h ∘ d ∈ D ( Q ) . {displaystyle mathrm {D} (Q)=mathrm {Hom} _{A}(Lambda ,Q),quad mathrm {Hom} _{A}(Lambda ,Q) i hleftrightarrow hcirc din mathrm {D} (Q).}

2. Существуют единственные A {displaystyle A} -модуль J n ( P ) {displaystyle {mathcal {J}}^{n}(P)} и ДО j n : P → J n ( P ) {displaystyle j_{n}colon P o {mathcal {J}}^{n}(P)} порядка ≤ n {displaystyle leq n} , такие, что для любого A {displaystyle A} -модуля Q {displaystyle Q} имеет место естественный изоморфизм

D i f f n ( P , Q ) = H o m A ( J n ( P ) , Q ) , H o m A ( J n ( P ) , Q ) ∋ h ↔ h ∘ j n ∈ D i f f n ( P , Q ) . {displaystyle mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=mathrm {Hom} _{A}({mathcal {J}}^{n}(P),Q),quad mathrm {Hom} _{A}({mathcal {J}}^{n}(P),Q) i hleftrightarrow hcirc j_{n}in mathrm {Diff} _{n}(P,Q).}

Дифференцирование d {displaystyle d} и ДО j n {displaystyle j_{n}} называются универсальным дифференцированием и универсальным ДО порядка ≤ n {displaystyle leq n} соответственно, а модули Λ {displaystyle Lambda } и J n ( P ) {displaystyle {mathcal {J}}^{n}(P)} — модулем дифференциальных форм первого порядка и модулем джетов порядка n {displaystyle n} . (Иногда вместо термина "джет" употребляют термин "струя".)

Модули J n ( P ) {displaystyle {mathcal {J}}^{n}(P)} и Λ {displaystyle Lambda } довольно просто описываются "на пальцах". Именно, A {displaystyle A} -модуль J n ( P ) {displaystyle {mathcal {J}}^{n}(P)} порожден всевозможными элементами вида j n ( p ) ,   p ∈ P {displaystyle j_{n}(p), pin P} , для которых выполнены следующие соотношения:

j n ( k p ) = k j n ( p )   ∀ k ∈ k ,   p ∈ P {displaystyle j_{n}(kp)=kj_{n}(p) forall kin Bbbk , pin P} , ( [ a n , [ a n − 1 , [ … [ a 0 , j n ] … ] ] ] ) ( p ) = 0   ∀ p ∈ P ,   a 0 , … , a n ∈ A {displaystyle {ig (}[a_{n},[a_{n-1},[ldots [a_{0},j_{n}]ldots ]]]{ig )}(p)=0 forall pin P, a_{0},dots ,a_{n}in A} , где ( [ a 0 , j n ] ) ( p ) = a 0 j n ( p ) − j n ( a 0 p ) , ( [ a 1 [ a 0 , j n ] ] ) ( p ) = a 1 a 0 j n ( p ) − a 1 j n ( a 0 p ) − a 0 j n ( a 1 p ) + j n ( a 1 a 0 p ) {displaystyle {ig (}[a_{0},j_{n}]{ig )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p),quad {ig (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{ig )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p)-a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)} , и так далее.

Аналогично, A {displaystyle A} -модуль Λ {displaystyle Lambda } порожден всевозможными элементами вида d a ,   a ∈ A {displaystyle da, ain A} , для которых выполнены следующие соотношения:

d ( k a ) = k d a   ∀ k ∈ k ,   a ∈ A {displaystyle d(ka)=kda forall kin Bbbk , ain A} , d ( a b ) = a d b + b d a   ∀ a , b ∈ A {displaystyle d(ab)=adb+bda forall a,bin A} .

Естественно было бы и здесь ожидать, что для алгебры A = C ∞ ( M ) {displaystyle A=C^{infty }(M)} дифференциальные формы окажутся "обычными" дифференциальными формами на многообразии M {displaystyle M} , а джеты — "обычными" джетами, но это не так. Причиной тому является существование в алгебраических конструкциях невидимых элементов, то есть ненулевых элементов, которые, тем не менее, равны нулю в каждой точке многообразия M {displaystyle M} . Например, пусть M = R 1 {displaystyle M=mathbb {R} ^{1}} , дифференциальная форма e x d x − d e x ∈ Λ {displaystyle e^{x}dx-de^{x}in Lambda } отлична от нуля, но ( e x d x − d e x ) | z = 0   ∀ z ∈ R 1 {displaystyle (e^{x}dx-de^{x}){ig |}_{z}=0 forall zin mathbb {R} ^{1}} . Модули над C ∞ ( M ) {displaystyle C^{infty }(M)} , не содержащие невидимых элементов, называют геометрическими. Для любого C ∞ ( M ) {displaystyle C^{infty }(M)} -модуля S {displaystyle S} множество всех невидимых элементов образует подмодуль, фактор по которому является геометрическим модулем и обозначается G ( S ) {displaystyle G(S)} . Модули G ( Λ ) {displaystyle G(Lambda )} и G ( J n ( P ) ) {displaystyle G({mathcal {J}}^{n}(P))} , где P {displaystyle P} — геометрический модуль, будут представляющими объектами для функторов D {displaystyle mathrm {D} } и D i f f n ( P , ) {displaystyle mathrm {Diff} _{n}(P,quad )} в категории геометрических модулей над A = C ∞ ( M ) {displaystyle A=C^{infty }(M)} . Они оказываются изоморфными модулю "обычных" дифференциальных форм и модулю "обычных" джетов соответственно.

Градуированные алгебры

Эта теория легко переносятся на случай градуированных алгебр (в старой терминологии — супералгебр), где, в частности, дает новый взгляд на такие конструкции, как интегральные формы и интеграл Березина.

Приложения

Тот факт, что дифференциальное исчисление является разделом коммутативной алгебры, интересен сам по себе и тесно связан с одним из важнейших физических понятий --- понятием наблюдаемой. Инвариантные алгебраические конструкции позволяют работать там, где классический координатный подход слишком громоздок, или вообще невозможен, например в случае многообразий с особенностями или бесконечномерных. Они используются в гамильтоновой и лагранжевой механике, теории законов сохранения, вторичном исчислении, не говоря уже об алгебраической и дифференциальной геометрии.

Историческая справка

Определение ДО в категории модулей над коммутативными алгебрами появилось, независимо друг от друга, в работах П. Габриеля, С. Судзуки и А. М. Виноградова. Однако всю важность алгебраического подхода к ДО, видимо, осознал только А. М. Виноградов и основной вклад в развитие этой теории внесен им и его учениками.