Модель Лотки — Вольтерры

Модель Лотки — Вольтерры (модель Лотки — Вольтерра) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами.

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

d x d t = ( α − β y ) x {displaystyle {frac {dx}{dt}}=(alpha -eta y)x} , d y d t = ( − γ + δ x ) y {displaystyle {frac {dy}{dt}}=(-gamma +delta x)y} ,

где x {displaystyle x} — количество жертв, y {displaystyle y} — количество хищников, t {displaystyle t} — время, α , β , γ , δ {displaystyle alpha ,eta ,gamma ,delta } — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Решение системы уравнений

Постановка задачи

Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники. Предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учёта хищников) принимает вид:

d x d t = α x {displaystyle {frac {dx}{dt}}=alpha x} ,

где α {displaystyle alpha } — коэффициент рождаемости жертв, x {displaystyle x} — величина популяции жертв, d x d t {displaystyle { frac {dx}{dt}}} — скорость прироста популяции жертв.

Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта численности жертв) принимает вид:

d y d t = − γ y {displaystyle {frac {dy}{dt}}=-gamma y} ,

где γ {displaystyle gamma } — коэффициент убыли хищников, y {displaystyle y} — величина популяции хищников, d y d t {displaystyle { frac {dy}{dt}}} — скорость прироста популяции хищников.

При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине x y {displaystyle xy} ) происходит убийство жертв с коэффициентом β {displaystyle eta } , сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом δ {displaystyle delta } . С учётом этого, система уравнений модели такова:

{ d x d t = α x − β x y = ( α − β y ) x d y d t = − γ y + δ x y = ( δ x − γ ) y {displaystyle {egin{cases}{dfrac {dx}{dt}}=alpha x-eta xy=(alpha -eta y)x{dfrac {dy}{dt}}=-gamma y+delta xy=(delta x-gamma )yend{cases}}} .

Решение задачи

Нахождение стационарной позиции системы

Для стационарной позиции x ¯ > 0 , y ¯ > 0 {displaystyle {ar {x}}>0,{ar {y}}>0} изменение численности популяции равно нулю. Следовательно:

α x ¯ − β x ¯ y ¯ = 0 {displaystyle alpha {ar {x}}-eta {ar {x}}{ar {y}}=0} , − γ y ¯ + δ x ¯ y ¯ = 0 {displaystyle -gamma {ar {y}}+delta {ar {x}}{ar {y}}=0} ,

из чего следует, что стационарная точка системы, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:

x ¯ = γ δ {displaystyle {ar {x}}={frac {gamma }{delta }}} , y ¯ = α β {displaystyle {ar {y}}={frac {alpha }{eta }}} .

Задание отклонения в системе

При внесении в систему колебаний x ~ ≪ x ¯ {displaystyle { ilde {x}}ll {ar {x}}} и y ~ ≪ y ¯ {displaystyle { ilde {y}}ll {ar {y}}} , из-за малой их величины их квадратами, кубами и последующими степенями ( x ~ n {displaystyle { ilde {x}}^{n}} ) можно пренебречь. Таким образом, популяции x {displaystyle x} и y {displaystyle y} с малыми отклонениями описываются следующими выражениями:

x = x ¯ + x ~ {displaystyle x={ar {x}}+{ ilde {x}}} , y = y ¯ + y ~ {displaystyle y={ar {y}}+{ ilde {y}}} .

Применяя их к уравнениям модели, следует:

d x ~ d t = − β γ δ y ~ {displaystyle {frac {d{ ilde {x}}}{dt}}=-{frac {eta gamma }{delta }}{ ilde {y}}} d y ~ d t = δ α β x ~ {displaystyle {frac {d{ ilde {y}}}{dt}}={frac {delta alpha }{eta }}{ ilde {x}}}

Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:

d 2 x ~ d t 2 = − β γ δ δ α β x ~ = − α γ x ~ {displaystyle {frac {d^{2}{ ilde {x}}}{dt^{2}}}=-{frac {eta gamma }{delta }}{frac {delta alpha }{eta }}{ ilde {x}}=-alpha gamma { ilde {x}}} , d 2 x ~ d t 2 + α γ x ~ = 0 {displaystyle {frac {d^{2}{ ilde {x}}}{dt^{2}}}+alpha gamma { ilde {x}}=0} .

Полученное выражение является пропорциональным уравнением гармонического осциллятора с периодом T = 2 π α γ {displaystyle T={frac {2pi }{sqrt {alpha gamma }}}} .