Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




05.12.2022


05.12.2022


05.12.2022


05.12.2022


05.12.2022





Яндекс.Метрика





Сумма Римана

17.10.2022

Сумма Римана — один из механизмов определения интеграла через сумму вида ∑ f ( x ) Δ x {displaystyle sum f(x)Delta x} . Используется в определении интеграла Римана. Названа в честь первооткрывателя, Бернхарда Римана.

Определение

Пусть f : D → R {displaystyle f:D ightarrow R} является функцией определённой на подмножестве D {displaystyle D} на вещественной прямой R {displaystyle R} . I = [ a , b ] {displaystyle I=[a,b]} — замкнутый интервал содержащийся в D {displaystyle D} . P = [ x 0 , x 1 ) , [ x 1 , x 2 ) , . . . [ x n − 1 , x n ] {displaystyle P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}} является разбиением I {displaystyle I} , в котором a = x 0 < x 1 < x 2 . . . < x n = b {displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b} .

Сумма Римана функции f {displaystyle f} с разбиением P {displaystyle P} определяется следующим образом:

S = ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) ( x i − x i − 1 ) {displaystyle S=sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})}

где x i − 1 ⩽ x i ∗ ⩽ x i {displaystyle x_{i-1}leqslant x_{i}^{*}leqslant x_{i}} . Выбор x i ∗ {displaystyle x_{i}^{*}} в данном интервале является произвольным. Если x i ∗ = x i − 1 {displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}} для всех i {displaystyle i} , тогда S {displaystyle S} называется левой суммой Римана. Если x i ∗ = x i {displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}} , тогда S {displaystyle S} называется правой суммой Римана. Если x i ∗ = 1 2 ( x i + x i − 1 ) {displaystyle x_{i}^{*}={frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})} , тогда S {displaystyle S} называется средней суммой Римана. Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой.

Если Сумма Римана представляется в виде:

S = ∑ i = 1 n v i ( x i − x i − 1 ) {displaystyle S=sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})} ,

где v i {displaystyle v_{i}} является точной верхней границей множества f {displaystyle f} на интервале [ x i − 1 , x i ] {displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} , то S {displaystyle S} называется верхней суммой Римана. Аналогично, если v i {displaystyle v_{i}} является точной нижней границей множества f {displaystyle f} интервале [ x i − 1 , x i ] {displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} , то S {displaystyle S} называется нижней суммой Римана.

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения x i ∗ {displaystyle x_{i}^{*}} из интервала [ x i − 1 , x i ] {displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} ) находится между нижней и верхней суммами Римана.

Если для функции f {displaystyle f} и отрезка [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} существует предел сумм Римана, когда шаг разбиения стремится к нулю (независимо от выбора x i ∗ {displaystyle x_{i}^{*}} ), то этот предел называют интегралом Римана функции f {displaystyle f} на отрезке [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} и обозначается ∫ a b f ( x ) d x {displaystyle int limits _{a}^{b}f(x),dx} .