Матрица единиц

В математике, матрица единиц — это матрица, каждый элемент которой равен единице. Примеры:

J 2 = ( 1 1 1 1 ) ; J 3 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ; J 2 , 5 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) . {displaystyle J_{2}={egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}};quad J_{3}={egin{pmatrix}1&1&11&1&11&1&1end{pmatrix}};quad J_{2,5}={egin{pmatrix}1&1&1&1&11&1&1&1&1end{pmatrix}}.quad }

Свойства

Для квадратной n×n-матрицы единиц J верны следующие утверждения:

• След матрицы J равен n, а определитель равен 1 при n=1, и 0 во всех остальных случаях.
• Ранг матрицы J равен 1.
• У матрицы J только два собственных значения: n (некратное) и 0 (кратности n-1).
• J k = n k − 1 J ,  for  k = 1 , 2 , … . {displaystyle J^{k}=n^{k-1}J,{mbox{ for }}k=1,2,ldots .}
• Матрица 1 n J {displaystyle { frac {1}{n}}J} является идемпотентной.
• Экспонента от матрицы единиц представляется в виде: exp ⁡ ( J ) = I + e n − 1 n J . {displaystyle exp(J)=I+{frac {e^{n}-1}{n}}J.}
• J является единичным элементом относительно произведения Адамара.