Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа

Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для Z {displaystyle Z} из следующего равенства

e X e Y = e Z {displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}

здесь X {displaystyle X} , Y {displaystyle Y} и Z {displaystyle Z} — элементы алгебры Ли близкие к нулю. Выражение на Z {displaystyle Z} является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от X {displaystyle X} , Y {displaystyle Y} .

Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли. Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике.

Формула

Существует несколько вариантов для записи Z {displaystyle Z} . Если представить Z {displaystyle Z} в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:

Z ( X , Y ) = log ⁡ ( exp ⁡ X exp ⁡ Y ) = = X + Y + 1 2 [ X , Y ] + 1 12 ( [ X , [ X , Y ] ] + [ Y , [ Y , X ] ] ) − − 1 24 [ Y , [ X , [ X , Y ] ] ] − − 1 720 ( [ Y , [ Y , [ Y , [ Y , X ] ] ] ] + [ X , [ X , [ X , [ X , Y ] ] ] ] ) + + 1 360 ( [ X , [ Y , [ Y , [ Y , X ] ] ] ] + [ Y , [ X , [ X , [ X , Y ] ] ] ] ) + + 1 120 ( [ Y , [ X , [ Y , [ X , Y ] ] ] ] + [ X , [ Y , [ X , [ Y , X ] ] ] ] ) + + ⋯ {displaystyle {egin{aligned}Z(X,Y)&=log(exp Xexp Y)=&{}=X+Y+{frac {1}{2}}[X,Y]+{frac {1}{12}}left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]] ight)-&{}quad -{frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]-&{}quad -{frac {1}{720}}left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]] ight)+&{}quad +{frac {1}{360}}left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]] ight)+&{}quad +{frac {1}{120}}left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]] ight)+&{}quad +cdots end{aligned}}}

где " ⋯ {displaystyle cdots } " содержит слагаемые более высоких порядков.

Наиболее общее выражение для Z {displaystyle Z} дается формулой Дынкина :

Z {displaystyle Z} = log ⁡ ( exp ⁡ X exp ⁡ Y ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n ∑ r 1 + s 1 > 0 ⋮ r n + s n > 0 [ X r 1 Y s 1 X r 2 Y s 2 ⋯ X r n Y s n ] ( ∑ j = 1 n ( r j + s j ) ) ⋅ ∏ i = 1 n r i ! s i ! , {displaystyle log(exp Xexp Y)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}}{n}}sum _{egin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0vdots r_{n}+s_{n}>0end{smallmatrix}}{frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))cdot prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}

здесь суммирование проводится по всем неотрицательным значениям s i {displaystyle s_{i}} и r i {displaystyle r_{i}} , и приняты следующие обозначения:

[ X r 1 Y s 1 ⋯ X r n Y s n ] = [ X , [ X , ⋯ [ X ⏟ r 1 , [ Y , [ Y , ⋯ [ Y ⏟ s 1 , ⋯ [ X , [ X , ⋯ [ X ⏟ r n , [ Y , [ Y , ⋯ Y ⏟ s n ] ] ⋯ ] ] . {displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[underbrace {X,[X,dotsm [X} _{r_{1}},[underbrace {Y,[Y,dotsm [Y} _{s_{1}},,dotsm ,[underbrace {X,[X,dotsm [X} _{r_{n}},[underbrace {Y,[Y,dotsm Y} _{s_{n}}]]dotsm ]].}