Главная
Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками.
Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной окружностью и описанной окружностью некоторого четырёхугольника, то любая точка на описанной окружности является вершиной какого-то (возможно, другого) вписанно-описанного четырёхугольника, имеющего те же самые вписанные и описанные окружности. Это следствие поризма Понселе, который доказал французский математик Жан-Виктор Понселе (1788–1867).
Специальные случаи
Примерами вписанно-описанных четырёхугольников являются квадраты, прямоугольные дельтоиды и равнобокие описанные трапеции.
Описание
Выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для описанных четырёхугольников и свойству вписанных четырёхугольников, что противоположные углы в сумме дают 180 градусов, то есть
{ a + c = b + d A + C = B + D = π . {displaystyle {egin{cases}a+c=b+dA+C=B+D=pi .end{cases}}}Три других описания касаются точек, в которых вписанная окружность в описанном четырёхугольнике касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках W, X, Y и Z соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD является также и описанным в том и только в том случае, когда выполняется любое из следующих трёх условий:
- Отрезок WY перпендикулярен XZ
- A W W B = D Y Y C {displaystyle {frac {AW}{WB}}={frac {DY}{YC}}}
- A C B D = A W + C Y B X + D Z {displaystyle {frac {AC}{BD}}={frac {AW+CY}{BX+DZ}}}
Первое из этих трёх условий означает, что контактный четырёхугольник WXYZ является ортодиагональным четырёхугольником.
Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD также является описанным тогда и только тогда, когда четырёхугольник EFGH является прямоугольником.
Согласно другому описанию, если I является центром вписанной окружности описанного четырёхугольника, у которого продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда JIK является прямым углом.
Ещё одним необходимым и достаточным условием является то, что описанный четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда его прямая Гаусса перпендикулярна прямой Гаусса его контактного четырёхугольника WXYZ. (Прямая Гаусса четырёхугольника определяется средними точками его диагоналей.)
Построение
Имеется простой метод построения бицентрического четырёхугольника:
Построение начинается с вписанной окружности Cr с центром I и радиусом r, затем рисуем две перпендикулярные друг другу хорды WY и XZ во вписанной окружности Cr. На концах хорд проводим касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в точках A, B, C and D, которые являются вершинами вписанно-описанного четырёхугольника. Чтобы нарисовать описанную окружность, рисуем два серединных перпендикуляра p1 и p2 к сторонам вписанно-описанного четырёхугольника a и b соответственно. Они пересекаются в центре O описанной окружности CR на расстоянии x от центра I вписанной окружности Cr.
Справедливость этого построения вытекает из факта, что в описанном четырёхугольнике ABCD контактный четырёхугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда описанный четырёхугольник является также вписанным.
Площадь
Формулы в терминах четырёх величин
Площадь K вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах четырёх величин четырёхугольника несколькими способами. Если a, b, c и d являются сторонами, то площадь задаётся формулой
K = a b c d . {displaystyle displaystyle K={sqrt {abcd}}.}Это частный случай формулы Брахмагупты. Формулу можно получить и прямо из тригонометрической формулы площади описанного четырёхугольника. Заметим, что обратное не выполняется — некоторые четырёхугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь K = a b c d . {displaystyle displaystyle K={sqrt {abcd}}.} . Примером такого четырёхугольника служит прямоугольник (с разными сторонами, не квадрат).
Площадь может быть выражена в терминах отрезков от вершины до точки касания (для краткости будем называть эти длины касательными длинами) e, f, g, h
K = e f g h 4 ( e + f + g + h ) . {displaystyle K={sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}Формула площади вписанно-описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности I
K = A I ⋅ C I + B I ⋅ D I . {displaystyle K=AIcdot CI+BIcdot DI.}Если вписанно-описанный четырёхугольник имеет касательные хорды k, l и диагонали p, q, тогда он имеет площадь
K = k l p q k 2 + l 2 . {displaystyle K={frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}Если k, l являются касательными хордами и m, n являются бимедианами четырёхугольника, тогда площадь может быть вычислена с помощью формулы.
K = | m 2 − n 2 k 2 − l 2 | k l {displaystyle K=left|{frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}} ight|kl}Формула не может быть использована, если четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом, поскольку в этом случае знаменатель равен нулю.
Если M и N являются серединами диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжения сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника задаётся формулой
K = 2 M N ⋅ E I ⋅ F I E F {displaystyle K={frac {2MNcdot EIcdot FI}{EF}}} ,где I является центром вписанной окружности.
Формулы в терминах трёх величин
Площадь вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах двух противоположных сторон и угла θ между диагоналями согласно формуле
K = a c t g θ 2 = b d c t g θ 2 . {displaystyle K=acmathrm {tg} ,{frac { heta }{2}}=bdmathrm {ctg} ,{frac { heta }{2}}.}В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь площадь задаётся формулой
K = 2 r 2 ( 1 sin A + 1 sin B ) . {displaystyle K=2r^{2}left({frac {1}{sin {A}}}+{frac {1}{sin {B}}} ight).}Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как
K = r ( r + 4 R 2 + r 2 ) sin θ {displaystyle K=r(r+{sqrt {4R^{2}+r^{2}}})sin heta }где θ является любым из углов между диагоналями.
Если M и N являются средними точками диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон, площадь можно выразить формулой
K = 2 M N E Q ⋅ F Q {displaystyle K=2MN{sqrt {EQcdot FQ}}} ,где Q является основанием перпендикуляра на прямую EF из центра вписанной окружности.
Неравенства
Если r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, тогда площадь K удовлетворяет двойному неравенству
4 r 2 ⩽ K ⩽ 2 R 2 . {displaystyle displaystyle 4r^{2}leqslant Kleqslant 2R^{2}.}Равенство получим, только если четырёхугольник является квадратом.
Другим неравенством для площади будет
K ⩽ 4 3 r 4 R 2 + r 2 {displaystyle Kleqslant { frac {4}{3}}r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}} ,где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.
Похожее неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущее
K ⩽ r ( r + 4 R 2 + r 2 ) {displaystyle Kleqslant r(r+{sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом.
Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s:
2 K ⩽ q s ⩽ r + r 2 + 4 R 2 ; {displaystyle 2{sqrt {K}}leqslant qsleqslant r+{sqrt {r^{2}+4R^{2}}};} 6 K ⩽ a b + a c + a d + b c + b d + c d ⩽ 4 r 2 + 4 R 2 + 4 r r 2 + 4 R 2 ; {displaystyle 6Kleqslant ab+ac+ad+bc+bd+cdleqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{sqrt {r^{2}+4R^{2}}};} 4 K r 2 ⩽ a b c d ⩽ 16 9 r 2 ( r 2 + 4 R 2 ) . {displaystyle 4Kr^{2}leqslant abcdleqslant {frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}Формулы углов
Если a, b, c и d являются длинами сторон AB, BC, CD и DA соответственно во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD, то его углы в вершинах можно вычислить с помощью тангенса:
t g A 2 = b c a d = c t g C 2 , {displaystyle mathrm {tg} ,{frac {A}{2}}={sqrt {frac {bc}{ad}}}=mathrm {ctg} ,{frac {C}{2}},} t g B 2 = c d a b = c t g D 2 . {displaystyle mathrm {tg} ,{frac {B}{2}}={sqrt {frac {cd}{ab}}}=mathrm {ctg} ,{frac {D}{2}}.}Если использовать те же обозначения, выполняются следующие формулы для синусов и косинусов:
sin A 2 = b c a d + b c = cos C 2 , {displaystyle sin {frac {A}{2}}={sqrt {frac {bc}{ad+bc}}}=cos {frac {C}{2}},} cos A 2 = a d a d + b c = sin C 2 , {displaystyle cos {frac {A}{2}}={sqrt {frac {ad}{ad+bc}}}=sin {frac {C}{2}},} sin B 2 = c d a b + c d = cos D 2 , {displaystyle sin {frac {B}{2}}={sqrt {frac {cd}{ab+cd}}}=cos {frac {D}{2}},} cos B 2 = a b a b + c d = sin D 2 . {displaystyle cos {frac {B}{2}}={sqrt {frac {ab}{ab+cd}}}=sin {frac {D}{2}}.}Угол θ между диагоналями можно вычислить из формулы.
t g θ 2 = b d a c . {displaystyle displaystyle mathrm {tg} ,{frac { heta }{2}}={sqrt {frac {bd}{ac}}}.}Радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности
Радиус вписанной окружности r вписанно-описанного четырёхугольника определяется сторонами a, b, c, d по формуле
r = a b c d a + c = a b c d b + d . {displaystyle displaystyle r={frac {sqrt {abcd}}{a+c}}={frac {sqrt {abcd}}{b+d}}.}Радиус описанной окружности R является частным случаем формулы Парамешвары
R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) a b c d . {displaystyle displaystyle R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.}Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах последовательных касательных длин e, f, g, h согласно формуле.
r = e g = f h . {displaystyle displaystyle r={sqrt {eg}}={sqrt {fh}}.}Эти две формулы, фактически, являются необходимыми и достаточными условиями для описанного четырёхугольника с радиусом вписанной окружности r быть вписанным.
Четыре стороны a, b, c, d вписанно-описанного четырёхугольника являются решениями уравнения четвёртой степени
y 4 − 2 s y 3 + ( s 2 + 2 r 2 + 2 r 4 R 2 + r 2 ) y 2 − 2 r s ( 4 R 2 + r 2 + r ) y + r 2 s 2 = 0 {displaystyle y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0} ,где s является полупериметром, а r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.
Если имеется вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r, касательные длины которых равны e, f, g, h, то существует вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности rv, касательные длины которых равны e v , f v , g v , h v {displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v}} , где v могут быть любым вещественным числом.
Вписанно-описанный четырёхугольник имеет больший радиус вписанной окружности, чем любой другой описанный четырёхугольник, имеющий те же длины сторон в той же последовательности.
Неравенства
Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству
R ⩾ 2 r {displaystyle Rgeqslant {sqrt {2}}r} ,которое доказал Л. Фейеш Тот в 1948. Неравенство превращается в равенство, только если две окружности концентричны (центры совпадают). В этом случае четырёхугольник является квадратом. Неравенство можно доказать несколькими различными путями, один из путей использует двойное неравенство для площади выше.
Обобщением предыдущего неравенства является.
r 2 R ⩽ 1 2 ( sin A 2 cos B 2 + sin B 2 cos C 2 + sin C 2 cos D 2 + sin D 2 cos A 2 ) ⩽ 1 {displaystyle {frac {r{sqrt {2}}}{R}}leqslant {frac {1}{2}}left(sin {frac {A}{2}}cos {frac {B}{2}}+sin {frac {B}{2}}cos {frac {C}{2}}+sin {frac {C}{2}}cos {frac {D}{2}}+sin {frac {D}{2}}cos {frac {A}{2}} ight)leqslant 1} ,где неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом.
Полупериметр s вписанно-описанного четырёхугольника удовлетворяет
8 r ( 4 R 2 + r 2 − r ) ⩽ s ⩽ 4 R 2 + r 2 + r {displaystyle {sqrt {8rleft({sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r ight)}}leqslant sleqslant {sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r} ,где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.
Более того,
2 s r 2 ⩽ a b c + a b d + a c d + b c d ⩽ 2 r ( r + r 2 + 4 R 2 ) 2 {displaystyle 2sr^{2}leqslant abc+abd+acd+bcdleqslant 2r(r+{sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}и
a b c + a b d + a c d + b c d ⩽ 2 K ( K + 2 R 2 ) . {displaystyle abc+abd+acd+bcdleqslant 2{sqrt {K}}(K+2R^{2}).}Расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной окружностей
Теорема Фусса
Теорема Фусса даёт связь между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O, для любого бицентрического четырёхугольника. Связь задаётся формулой.
1 ( R − x ) 2 + 1 ( R + x ) 2 = 1 r 2 , {displaystyle {frac {1}{(R-x)^{2}}}+{frac {1}{(R+x)^{2}}}={frac {1}{r^{2}}},}Или, эквивалентно,
2 r 2 ( R 2 + x 2 ) = ( R 2 − x 2 ) 2 . {displaystyle displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}Формулу вывел Николай Иванович Фусс (1755–1826) в 1792. Решая относительно x, получим
x = R 2 + r 2 − r 4 R 2 + r 2 . {displaystyle x={sqrt {R^{2}+r^{2}-r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}Теорема Фусса для вписанно-описанных четырёхугольников, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников, утверждает, что если четырёхугольник бицентрический, то его две ассоциированных окружности связаны приведённой выше формулой. Фактически, обратное также выполняется — если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырёхугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырёхугольник (а тогда, по теореме Понселе, существует бесконечно много таких четырёхугольников).
Если использовать факт, что x 2 ⩾ 0 {displaystyle x^{2}geqslant 0} в выражении теоремы Фусса, получим другим способом уже упомянутое неравенство R ⩾ 2 r . {displaystyle Rgeqslant {sqrt {2}}r.} Обобщением неравенства будет
2 r 2 + x 2 ⩽ R 2 ⩽ 2 r 2 + x 2 + 2 r x . {displaystyle 2r^{2}+x^{2}leqslant R^{2}leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.}Тождество Карлица
Другая формула расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Формула утверждает, что.
x 2 = R 2 − 2 R r ⋅ μ {displaystyle displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rrcdot mu } ,где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, и
μ = ( a b + c d ) ( a d + b c ) ( a + c ) 2 ( a c + b d ) = ( a b + c d ) ( a d + b c ) ( b + d ) 2 ( a c + b d ) {displaystyle displaystyle mu ={sqrt {frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={sqrt {frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}} ,где a, b, c, d являются сторонами вписанно-описанного четырёхугольника.
Неравенства для касательных длин и сторон
Для касательных длин e, f, g, h выполняются следующие неравенства:
4 r ⩽ e + f + g + h ⩽ 4 r ⋅ R 2 + x 2 R 2 − x 2 {displaystyle 4rleqslant e+f+g+hleqslant 4rcdot {frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}и
4 r 2 ⩽ e 2 + f 2 + g 2 + h 2 ⩽ 4 ( R 2 + x 2 − r 2 ) {displaystyle 4r^{2}leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})} ,где r является радиусом вписанной окружности, R является радиусом описанной окружности, а x является расстоянием между центрами этих окружностей. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам
8 r ⩽ a + b + c + d ⩽ 8 r ⋅ R 2 + x 2 R 2 − x 2 {displaystyle 8rleqslant a+b+c+dleqslant 8rcdot {frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}и
4 ( R 2 − x 2 + 2 r 2 ) ⩽ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ⩽ 4 ( 3 R 2 − 2 r 2 ) . {displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).}Другие свойства центра вписанной окружности
Центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике коллинеарны.
Есть следующее равенство относительно четырёх расстояний между центром вписанной окружности I и вершинами бицентрического четырёхугольника ABCD:
1 A I 2 + 1 C I 2 = 1 B I 2 + 1 D I 2 = 1 r 2 {displaystyle {frac {1}{AI^{2}}}+{frac {1}{CI^{2}}}={frac {1}{BI^{2}}}+{frac {1}{DI^{2}}}={frac {1}{r^{2}}}} ,где r — радиус вписанной окружности.
Если точка P является пересечением диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности I, то
A P C P = A I 2 C I 2 . {displaystyle {frac {AP}{CP}}={frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.}Есть неравенство для радиуса r вписанной окружности и радиуса описанной окружности R во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD
4 r 2 ⩽ A I ⋅ C I + B I ⋅ D I ⩽ 2 R 2 {displaystyle 4r^{2}leqslant AIcdot CI+BIcdot DIleqslant 2R^{2}} ,где I является центром вписанной окружности.
Свойства диагоналей
Длины диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике можно выразить терминах сторон или касательных длин. Эти формулы верны для вписанных четырёхугольников и описанных четырёхугольников соответственно.
Во вписанно-описанном четырёхугольнике с диагоналями p и q выполняется тождество:
p q 4 r 2 − 4 R 2 p q = 1 {displaystyle displaystyle {frac {pq}{4r^{2}}}-{frac {4R^{2}}{pq}}=1} ,где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Это тождество можно переписать как
r = p q 2 p q + 4 R 2 {displaystyle r={frac {pq}{2{sqrt {pq+4R^{2}}}}}}или, решив его как квадратное уравнение относительно произведения диагоналей, получим
p q = 2 r ( r + 4 R 2 + r 2 ) . {displaystyle pq=2rleft(r+{sqrt {4R^{2}+r^{2}}} ight).}Есть неравенство для произведения диагоналей p, q во вписанно-описанном четырёхугольнике
8 p q ⩽ ( a + b + c + d ) 2 {displaystyle displaystyle 8pqleqslant (a+b+c+d)^{2}} ,где a, b, c, d — стороны. Неравенство доказал Мюррей С. Кламкин в 1967.