Кривая Персея

Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов.

Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом. Переоткрыты в XVII веке; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат:

( x 2 + y 2 ) 2 = a x 2 + b y 2 + c {displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c} .

Другая форма уравнения в декартовых координатах:

( r 2 − a 2 + c 2 + x 2 + y 2 ) 2 = 4 r 2 ( x 2 + c 2 ) {displaystyle (r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})} ,

в ней a {displaystyle a} — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом r {displaystyle r} образован тор. При c = 0 {displaystyle c=0} кривая состоит из двух окружностей радиуса a {displaystyle a} с центрами ( ± r , 0 ) {displaystyle (pm r,0)} ; при c = r + a {displaystyle c=r+a} кривая вырождается в точку — начало координат, если же c > r + a {displaystyle c>r+a} — то кривая состоит из пустого множества точек.

Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую, симметричную относительно осей x {displaystyle x} и y {displaystyle y} .

Уравнение в полярных координатах:

( r 2 − a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 4 b 2 ( r 2 cos 2 ⁡ θ + c 2 ) {displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}cos ^{2} heta +c^{2})} ,

или

r 4 = d r 2 cos 2 ⁡ θ + e r 2 sin 2 ⁡ θ + f {displaystyle r^{4}=dr^{2}cos ^{2} heta +er^{2}sin ^{2} heta +f} .