Преобразование Кельвина

Преобразование Кельвина применяется при решении задач Дирихле для уравнения Лапласа в неограниченных областях. Преобразованием Кельвина функции u(x) является функция

u ∗ ( x ∗ ) = ( R | x ∗ | ) n − 2 u ( R 2 | x ∗ | 2 x ∗ ) , {displaystyle u^{*}(x^{*})=left({frac {R}{|x^{*}|}} ight)^{n-2}uleft({frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*} ight),}

где точки x и x* симметричны относительны сферы с радиусом R: | x | | x ∗ | = R 2 {displaystyle |x||x^{*}|=R^{2}} , а n — размерность пространства.

Преобразование Кельвина интересно тем, что оно сохраняет гармоничность функции, при этом выполняется следующее равенство:

Δ u ∗ ( x ∗ ) = R n + 2 | x ∗ | n + 2 ( Δ u ) ∗ ( x ∗ ) . {displaystyle Delta u^{*}(x^{*})={frac {R^{n+2}}{|x^{*}|^{n+2}}}(Delta u)^{*}(x^{*}).}