Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




03.10.2022


02.10.2022


02.10.2022


02.10.2022


29.09.2022





Яндекс.Метрика





Метрика Громова — Хаусдорфа

05.01.2022

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г., а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г.. Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста.

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях X ↪ Z {displaystyle Xhookrightarrow Z} и Y ↪ Z {displaystyle Yhookrightarrow Z} в общее метрическое пространство Z {displaystyle Z} . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам Z {displaystyle Z} .

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} в дизъюнктном объединении X ⊔ Y {displaystyle Xsqcup Y} , снабжённым метрикой ρ {displaystyle ho } такой, что сужение ρ {displaystyle ho } на X {displaystyle X} совпадает с метрикой на X {displaystyle X} и сужение ρ {displaystyle ho } на Y {displaystyle Y} совпадает с метрикой на Y {displaystyle Y} . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам ρ {displaystyle ho } .

Комментарии

  • Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} » говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} ».
  • Расстояние между изометрическими классами X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} обычно обозначается d G H ( X , Y ) {displaystyle d_{GH}(X,Y)} или | X − Y | G H {displaystyle |X-Y|_{GH}} .
  • Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается M {displaystyle {mathcal {M}}} , M {displaystyle {mathfrak {M}}} или G H {displaystyle GH} .

Связанные определения

  • Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств X n {displaystyle X_{n}} сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства X ∞ {displaystyle X_{infty }} , если d G H ( X n , X ∞ ) → 0 {displaystyle d_{GH}(X_{n},X_{infty }) o 0} при n → ∞ {displaystyle n o infty }

Свойства

  • Метрическое пространство G H {displaystyle GH} является линейно связным, полным, сепарабельным, и с внутренней метрикой.
    • Более того, G H {displaystyle GH} является геодезическим; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
  • Пространство Громова — Хаусдорфа G H {displaystyle GH} глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна, однако локально имеется много нетривиальных изометрий.
  • Пространство G H {displaystyle GH} изометрично пространсву классов конгруентности компакнтых подмножеств пространства Урысона U {displaystyle {mathcal {U}}} с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения U {displaystyle {mathcal {U}}} .
  • Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
    • Семейство X {displaystyle X} метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным, если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует такое целое положительное число N ( ε ) {displaystyle N(varepsilon )} , что любое пространство из X {displaystyle X} допускает ε {displaystyle varepsilon } -сеть из не более чем N ( ε ) {displaystyle N(varepsilon )} точек.
    • Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности, аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения

  • В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
  • Если разрешить метрике принимать значение ∞ {displaystyle infty } , то можно также отказаться от конечности диаметра.