Уравнение Янга — Бакстера

Уравнение Янга — Бакстера (уравнение факторизации, уравнение треугольников) — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.

Зависимое от параметров уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через A {displaystyle A} ассоциативную алгебру с единицей. Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для R ( u ) {displaystyle R(u)} , зависимый от параметра обратимый элемент тензорного произведения алгебр A ⊗ A {displaystyle Aotimes A} (здесь u {displaystyle u} — параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением

R 12 ( u )   R 13 ( u + v )   R 23 ( v ) = R 23 ( v )   R 13 ( u + v )   R 12 ( u ) , {displaystyle R_{12}(u) R_{13}(u+v) R_{23}(v)=R_{23}(v) R_{13}(u+v) R_{12}(u),}

на функцию R {displaystyle R} , в которую указанным образом подставлены две переменные u {displaystyle u} и v {displaystyle v} . При некоторых u {displaystyle u} R ( u ) {displaystyle R(u)} может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид

R 12 ( u )   R 13 ( u v )   R 23 ( v ) = R 23 ( v )   R 13 ( u v )   R 12 ( u ) , {displaystyle R_{12}(u) R_{13}(uv) R_{23}(v)=R_{23}(v) R_{13}(uv) R_{12}(u),}

на функцию R {displaystyle R} , где R 12 ( w ) = ϕ 12 ( R ( w ) ) {displaystyle R_{12}(w)=phi _{12}(R(w))} , R 13 ( w ) = ϕ 13 ( R ( w ) ) {displaystyle R_{13}(w)=phi _{13}(R(w))} , и R 23 ( w ) = ϕ 23 ( R ( w ) ) {displaystyle R_{23}(w)=phi _{23}(R(w))} , для всех величин параметра w {displaystyle w} , и ϕ 12 : A ⊗ A → A ⊗ A ⊗ A {displaystyle phi _{12}:Aotimes A o Aotimes Aotimes A} , ϕ 13 : A ⊗ A → A ⊗ A ⊗ A {displaystyle phi _{13}:Aotimes A o Aotimes Aotimes A} , и ϕ 23 : A ⊗ A → A ⊗ A ⊗ A {displaystyle phi _{23}:Aotimes A o Aotimes Aotimes A} , являются морфизмами алгебры, определёнными как

ϕ 12 ( a ⊗ b ) = a ⊗ b ⊗ 1 , {displaystyle phi _{12}(aotimes b)=aotimes botimes 1,} ϕ 13 ( a ⊗ b ) = a ⊗ 1 ⊗ b , {displaystyle phi _{13}(aotimes b)=aotimes 1otimes b,} ϕ 23 ( a ⊗ b ) = 1 ⊗ a ⊗ b . {displaystyle phi _{23}(aotimes b)=1otimes aotimes b.}

В некоторых случаях детерминант[неоднозначно] R ( u ) {displaystyle R(u)} может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра u = u 0 {displaystyle u=u_{0}} , и иногда R ( u ) {displaystyle R(u)} даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через A {displaystyle A} ассоциативную алгебру с единицей. Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для R {displaystyle R} , обратимого элемента тензорного произведения алгебр A ⊗ A {displaystyle Aotimes A} . Уравнение Янга — Бакстера имеет вид

R 12   R 13   R 23 = R 23   R 13   R 12 , {displaystyle R_{12} R_{13} R_{23}=R_{23} R_{13} R_{12},}

где R 12 = ϕ 12 ( R ) {displaystyle R_{12}=phi _{12}(R)} , R 13 = ϕ 13 ( R ) {displaystyle R_{13}=phi _{13}(R)} , и R 23 = ϕ 23 ( R ) {displaystyle R_{23}=phi _{23}(R)} .

Пусть V {displaystyle V} — модуль над A {displaystyle A} . Пусть T : V ⊗ V → V ⊗ V {displaystyle T:Votimes V o Votimes V} линейная карта, удовлетворяющая T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x {displaystyle T(xotimes y)=yotimes x} для всей x , y ∈ V {displaystyle x,yin V} . Тогда представление группы кос, B n {displaystyle B_{n}} , может быть построено на V ⊗ n {displaystyle V^{otimes n}} σ i = 1 ⊗ i − 1 ⊗ R ˇ ⊗ 1 ⊗ n − i − 1 {displaystyle sigma _{i}=1^{otimes i-1}otimes {check {R}}otimes 1^{otimes n-i-1}} для i = 1 , … , n − 1 {displaystyle i=1,dots ,n-1} , где R ˇ = T ∘ R {displaystyle {check {R}}=Tcirc R} на V ⊗ V {displaystyle Votimes V} . Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.