Главная
Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, то есть кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь — уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину ℓ {displaystyle ell } ; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.
Название происходит от др.-греч. κωγχοείδης — «похожий на раковину».
Построение
Пусть на плоскости выбрана прямая m и точка O, отстоящая от прямой на расстояние a. Проведём через точку O луч, пересекающий прямую m в некоторой точке N; точки M1 и M2, лежащие на луче ON и отстоящие от точки N на заранее выбранное расстояние l, будут точками конхоиды. Меняя направление луча ON, можно построить всю конхоиду.
Уравнения
Декартовы координаты
Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением y + a = 0 {displaystyle y+a=0} в декартовых прямоугольных координатах, то уравнение конхоиды имеет вид
ℓ 2 y 2 = ( x 2 + y 2 ) ( y + a ) 2 {displaystyle ell ^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})(y+a)^{2}}Начало координат является двойной точкой, характер которой зависит от величин a {displaystyle a} и ℓ {displaystyle ell } :
- при ℓ < a {displaystyle ell <a} ― изолированная точка
- при ℓ > a {displaystyle ell >a} ― узловая точка
- при ℓ = a {displaystyle ell =a} ― точка возврата
Полярные координаты
В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии a {displaystyle a} от прямой, которая смещается вдоль радиус-вектора на расстояние l {displaystyle l} , уравнение конхоиды имеет вид
r = a cos φ ± ℓ . {displaystyle r={frac {a}{cos varphi }}pm ell .}История
Кривая названа по имени Никомеда (III—II века до н. э.), который применял её для решения задачи о трисекции угла и удвоения куба.