Билинейное преобразование

Билинейное преобразование (или преим. в зап. литературе преобразование Тастина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции H a ( s )   {displaystyle H_{a}(s) } линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию H d ( z )   {displaystyle H_{d}(z) } линейной системы в дискретной форме.

Оно отображает точки j ω   {displaystyle jomega } -оси, R e [ s ] = 0   {displaystyle Re[s]=0 } , на s-плоскости в окружность единичного радиуса, | z | = 1   {displaystyle |z|=1 } , на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

z   {displaystyle z } = e s T   {displaystyle =e^{sT} } = e s T / 2 e − s T / 2   {displaystyle ={frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}} } ≈ 1 + s T / 2 1 − s T / 2   , {displaystyle approx {frac {1+sT/2}{1-sT/2}} ,}

где T   {displaystyle T } — период дискретизации (обратная к частоте дискретизации величина).

Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:

s   {displaystyle s } = 1 T ln ⁡ ( z )   {displaystyle ={frac {1}{T}}ln(z) } = 2 T [ z − 1 z + 1 + 1 3 ( z − 1 z + 1 ) 3 + 1 5 ( z − 1 z + 1 ) 5 + 1 7 ( z − 1 z + 1 ) 7 + … ]   {displaystyle ={frac {2}{T}}left[{frac {z-1}{z+1}}+{frac {1}{3}}left({frac {z-1}{z+1}} ight)^{3}+{frac {1}{5}}left({frac {z-1}{z+1}} ight)^{5}+{frac {1}{7}}left({frac {z-1}{z+1}} ight)^{7}+ldots ight] } ≈ 2 T z − 1 z + 1 ≈   {displaystyle approx {frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}approx } ≈ 2 T 1 − z − 1 1 + z − 1   . {displaystyle approx {frac {2}{T}}{frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}} .}

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции H a ( s )   {displaystyle H_{a}(s) } на её дискретный аналог:

s ← 2 T z − 1 z + 1   , {displaystyle sleftarrow {frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}} ,}

то есть:

H d ( z ) = H a ( s ) | s = 2 T z − 1 z + 1 = H a ( 2 T z − 1 z + 1 )   . {displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){igg |}_{s={frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}left({frac {2}{T}}{frac {z-1}{z+1}} ight) .}

Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:

z ′ = a z + b c z + d   . {displaystyle z^{prime }={frac {az+b}{cz+d}} .}