Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




11.09.2021


10.09.2021


09.09.2021


08.09.2021


07.09.2021





Яндекс.Метрика





Электромагнитный потенциал

17.08.2021

В современной физике электромагнитный потенциал обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

  • Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего A i {displaystyle A_{i}} или φ i {displaystyle varphi _{i}} , что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты A 0 , A 1 , A 2 , A 3 {displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}} или φ 0 , φ 1 , φ 2 , φ 3 {displaystyle varphi _{0},varphi _{1},varphi _{2},varphi _{3}} , причём индексом 0 как правило обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
  • В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.


В любой определенной инерциальной системе отсчета электромагнитный потенциал ( A 0 ,   A 1 ,   A 2 ,   A 3 ) {displaystyle (A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3})} распадаетсяна скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал φ ≡ A 0 {displaystyle varphi equiv A_{0}} и трехмерный векторный потенциал A → ≡ ( A x , A y , A z ) ≡ ( − A 1 , − A 2 , − A 3 ) {displaystyle {vec {A}}equiv (A_{x},A_{y},A_{z})equiv (-A_{1},-A_{2},-A_{3})} ; эти потенциалы φ   {displaystyle varphi } и A → {displaystyle {vec {A}}} — и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трехмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряженность электрического поля выражается через φ {displaystyle varphi } , называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряженность магнитного поля (магнитная индукция) — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное — всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трехмерных векторных обозначениях:

E → = − ∇ φ − ∂ A → ∂ t , {displaystyle {vec {E}}=- abla varphi -{frac {partial {vec {A}}}{partial t}},} B → = ∇ × A → , {displaystyle {vec {B}}= abla imes {vec {A}},}

где E → {displaystyle {vec {E}}} — напряженность электрического поля, B → {displaystyle {vec {B}}} — магнитная индукция (или — что в случае вакуума в сущности то же самое — напряженность магнитного поля), ∇ {displaystyle abla } — оператор набла, причём ∇ φ ≡ g r a d φ {displaystyle abla varphi equiv mathrm {grad} ,varphi } — градиент скалярного потенциала, а ∇ × A → ≡ r o t A → {displaystyle abla imes {vec {A}}equiv mathrm {rot} ,{vec {A}}} — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырехмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ , {displaystyle F_{mu u }=partial _{mu }A_{ u }-partial _{ u }A_{mu },}

где F μ ν {displaystyle F_{mu u }} — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты E x , E y , E z , B x , B y , B z {displaystyle E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}} .

Приведенное выражение является обобщением выражения ротора для случая четырехмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, компоненты A 0 , A 1 , A 2 , A 3 {displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}} преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

Физический смысл

Физический смысл четырехмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал дает добавку в фазу φ {displaystyle varphi } волновой функции частицы:

Δ φ = − 1 ℏ ∫ q A i d x i = − 1 ℏ ∫ q A i u i d τ {displaystyle Delta varphi =-{frac {1}{hbar }}int qA_{i}dx^{i}=-{frac {1}{hbar }}int qA_{i}u^{i}d au } ,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя 1 / ℏ {displaystyle 1/hbar } , а в системе единиц, где ℏ = 1 {displaystyle hbar =1} — просто совпадает с ней). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова-Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.