Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике.
Центроид традиционно обозначается латинской буквой M {displaystyle M} . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).
Свойства
- Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
- Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
- Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
- Если M {displaystyle M} — центроид треугольника A B C {displaystyle ABC} то для любой точки O {displaystyle O} верно равенство O M → = 1 3 ( O A → + O B → + O C → ) {displaystyle {overrightarrow {OM}}={frac {1}{3}}({overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}}+{overrightarrow {OC}})} .
- Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение (теорема Лейбница).
- Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
- Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
- При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
- Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
- Пусть A B C {displaystyle ABC} — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника A B C {displaystyle ABC} , называется окружностью Парри треугольника A B C {displaystyle ABC} .
- Три чевианы, проведённые через произвольную точку O {displaystyle O} внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка O {displaystyle O} совпадает с центроидом.
- Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:
- Пусть q a {displaystyle q_{a}} , q b {displaystyle q_{b}} и q c {displaystyle q_{c}} — расстояния от центроида до сторон с длинами, соответственно равными a {displaystyle a} , b {displaystyle b} и c {displaystyle c} . Тогда
История
Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.
Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике
- Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.
- Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности.
- У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади Ga, вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин Gv и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле