Теорема Фишера для нормальных выборок

Теорема Фишера для нормальных выборок в математической статистике — это утверждение, характеризующее распределение выборочной дисперсии.

Формулировка

Пусть X 1 , … , X n ∼ N ( μ , σ 2 ) {displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}sim mathrm {N} (mu ,sigma ^{2})} — независимая выборка из нормального распределения. Пусть X ¯ {displaystyle {ar {X}}} — выборочное среднее, а S 2 {displaystyle S^{2}} — несмещённая выборочная дисперсия. Тогда

• n ⋅ X ¯ − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) {displaystyle {sqrt {n}}cdot {frac {{ar {X}}-mu }{sigma }}sim mathrm {N} (0,1)}
• Случайные величины X ¯ {displaystyle {ar {X}}} и S 2 {displaystyle S^{2}} независимы;
• Случайная величина

( n − 1 ) ⋅ S 2 σ 2 ∼ χ n − 1 2 {displaystyle {frac {(n-1)cdot S^{2}}{sigma ^{2}}}sim chi _{n-1}^{2}}

имеет распределение хи-квадрат с n − 1 {displaystyle n-1} степенями свободы.