Гномон (фигура)

Гномон — геометрическая фигура, которая при соответствующем соединении с другой фигурой, образует фигуру, ей подобную.

Например, если взять параллелограмм A B C D {displaystyle ABCD} и построить подобный параллелограмм D E F G {displaystyle DEFG} с общим углом D {displaystyle D} , то фигура A B C G F E {displaystyle ABCGFE} будет являться гномоном для фигуры A B C D {displaystyle ABCD} .

Гномон и фигурные числа

Пифагорейцы исследовали фигурные числа. Стало известно, что эти числа можно получить, добавив гномон к предыдущему фигурному числу.

Например, гномоном четырехугольного числа (квадрата) является нечетное число. Общий вид нечётного числа — 2 n + 1 {displaystyle 2n+1} , число n {displaystyle n} может быть равно 1, 2, 3... Например, если рассмотреть квадрат 8 (он равен 64), то он будет выглядеть как таблица:

Чтобы из таблицы, демонстрирующей квадрат числа n {displaystyle n} , получить таблицу для демонстрации квадрата числа n + 1 {displaystyle n+1} , нужно добавить к таблице 2 n + 1 {displaystyle 2n+1} дополнительные клетки: по одному числу слева от каждой строки, по одному числу сверху от каждого столбца и ещё одно число в угол. Например, чтобы из таблицы для семёрки получить таблицу для восьмёрки, нужно добавить к таблице 15 элементов. Число клеток (в данном примере 64) и является квадратом числа.

С помощью этого метода можно доказать, что сумма первых n {displaystyle n} нечетных чисел равна n 2 {displaystyle n^{2}} . Так, в упомянутой фигуре всего 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 клетки, а это и есть 8 2 {displaystyle 8^{2}} .