Локальное кольцо

Локальные кольца — кольца, которые относительно просты и позволяют описывать «локальное поведение» функций на алгебраическом многообразии или обычном многообразии. Раздел коммутативной алгебры, изучающий локальные кольца и модули над ними, называется локальной алгеброй.

Определение

Кольцо R локально, если выполняется одно из следующих эквивалентных свойств:

R имеет единственный максимальный левый идеал;
R имеет единственный максимальный правый идеал;
Множество необратимых элементов R замкнуто относительно сложения, и единица кольца не совпадает с нулем.

В этом случае единственный максимальный левый идеал совпадает с максимальным правым идеалом и состоит из всех необратимых элементов кольца. Обратно, если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.

Примеры

Все тела являются локальными кольцами, поскольку единственный собственный идеал в них — нулевой идеал.
Важный класс локальных колец — кольца дискретного нормирования. В частности, все локальные области главных идеалов являются кольцами дискретного нормирования.
Кольцо формальных степенных рядов от любого числа переменных локально.
Локализация любого коммутативного кольца R по простому идеалу является локальным кольцом.

Ростки функций

Данный пример позволяет понять происхождение термина «локальный». Рассмотрим кольцо непрерывных действительнозначных функций, определённых в некоторой окрестности нуля. Введём на множестве таких функций отношение эквивалентности: две функции эквивалентны тогда и только тогда, когда их ограничения на некоторую окрестность нуля совпадают. Классы эквивалентности по этому отношению называются «ростками действительнозначных непрерывных функций в нуле», на ростках можно естественным образом ввести операции сложения и умножения, легко проверить, что ростки образуют кольцо.

Чтобы проверить, что это кольцо локально, опишем все его необратимые элементы. Очевидно, что росток функции f, такой что f(0) = 0, необратим. Обратно, если f(0) ≠ 0, то из непрерывности следует, что f(x) ≠ 0 в некоторой окрестности нуля. Возьмем функцию g(x) = 1/f(x), определенную в этой окрестности, её росток является обратным к ростку функции f, и потому росток функции f обратим. Значит, необратимыми являются только ростки функций таких, что f(0) = 0. Таким образом, сумма двух необратимых ростков необратима, следовательно, кольцо ростков локально.

В точности те же самые аргументы позволяют доказать, что росток непрерывных функций в точке произвольного топологического пространства, или гладких функций в точке гладкого многообразия, или рациональных функций в точке алгебраического многообразия являются локальными. Последний пример представляет большую важность в алгебраической геометрии. В частности, схемы, являющиеся обобщением алгебраических многообразий, определяются как локально окольцованные пространства с дополнительными свойствами.

Некоммутативные локальные кольца

Некоммутативные локальные кольца естественным образом появляются при изучении разложений модулей в прямую сумму. А именно, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M является неразложимым. Обратно, если M — неразложимый модуль конечной длины, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k — поле ненулевой характеристики p и G — конечная p-группа, то групповое кольцо k[G] является локальным.

Локализация кольца по простому идеалу

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и p {displaystyle {mathfrak {p}}} — простой идеал в нём. Множество S p = { a ∈ R : a ∉ p } {displaystyle S_{mathfrak {p}}={ain R:,a otin {mathfrak {p}}}} — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу p {displaystyle {mathfrak {p}}} .

Локализацией R p {displaystyle R_{mathfrak {p}}} кольца R по простому идеалу p {displaystyle {mathfrak {p}}} называется кольцо частных S p − 1 R {displaystyle S_{mathfrak {p}}^{-1}R} кольца R по мультипликативной системе S p {displaystyle S_{mathfrak {p}}} . Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм π p {displaystyle pi _{mathfrak {p}}} кольца R в S p − 1 R {displaystyle S_{mathfrak {p}}^{-1}R} по формуле π p ( r ) = r / 1 {displaystyle pi _{mathfrak {p}}(r)=r/1} .

При этом все обратимые элементы в R p {displaystyle R_{mathfrak {p}}} имеют вид s 1 / s 2 {displaystyle s_{1}/s_{2}} , где оба элемента s 1 , s 2 ∈ S p {displaystyle s_{1},s_{2}in S_{mathfrak {p}}} , а необратимые — имеют вид r/s, r ∈ p , s ∈ S p {displaystyle rin {mathfrak {p}},,sin S_{mathfrak {p}}} и образуют идеал m {displaystyle {mathfrak {m}}} . Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца R p {displaystyle R_{mathfrak {p}}} , он — максимальный идеал, а R p {displaystyle R_{mathfrak {p}}} — локальное кольцо.