Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




01.05.2021


26.04.2021


21.04.2021


21.04.2021


20.04.2021





Яндекс.Метрика





Сингулярные гомологии

26.04.2021

Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

Построение

Пусть X {displaystyle X} — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности k {displaystyle k} — это пара ( Δ k , f ) {displaystyle (Delta ^{k},f)} где Δ k {displaystyle Delta ^{k}} — это стандартный симплекс ⟨ a 0 , a 1 , . . .   a k ⟩ {displaystyle langle a_{0},a_{1},...~a_{k} angle } , а f {displaystyle f} — его непрерывное отображение в X {displaystyle X} ; f : Δ k → X {displaystyle f:Delta ^{k} o X} .

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

c k = ∑ i z i ( Δ k , f i ) {displaystyle c_{k}=sum _{i}z_{i}(Delta ^{k},f_{i})} с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами z i {displaystyle z_{i}} .

При этом для линейного отображения s π : Δ k → Δ k {displaystyle s_{pi }:Delta ^{k} o Delta ^{k}} , определяемого перестановкой π {displaystyle pi } точек ( a 0 , a 1 , . . .   a k ) {displaystyle (a_{0},a_{1},...~a_{k})} , полагают ( Δ k , f ) = ( − 1 ) π ( Δ k , f ∘ s π ) {displaystyle (Delta ^{k},f)=(-1)^{pi }(Delta ^{k},fcirc s_{pi })} .

Граничный оператор ∂ {displaystyle partial } определяется на сингулярном симплексе ( Δ k , f ) {displaystyle (Delta _{k},f)} так:

∂ ( Δ k , f ) = ∑ i ( − 1 ) i ( Δ k − 1 , f i ) {displaystyle partial (Delta _{k},f)=sum _{i}(-1)^{i}(Delta _{k-1},f_{i})} ,

где Δ k − 1 {displaystyle Delta _{k-1}} стандартный ( k − 1 ) {displaystyle (k-1)} -мерный симплекс, а f i = f ∘ ϵ i {displaystyle f_{i}=fcirc epsilon _{i}} , где ϵ i {displaystyle epsilon _{i}} — это его отображение на i {displaystyle i} -ю грань стандартного симплекса Δ k ( ⟨ a 0 , . . .   a i ^ , . . .   a k ⟩ ) {displaystyle Delta ^{k}(langle a_{0},...~{hat {a_{i}}},...~a_{k} angle )} .

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что ∂ ∂ = 0 {displaystyle partial partial =0} .

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей c k {displaystyle c_{k}} , что ∂ c k = 0 {displaystyle partial {c_{k}}=0} , и границ — цепей c k = ∂ c k + 1 {displaystyle c_{k}=partial {c_{k+1}}} для некоторого c k + 1 {displaystyle c_{k+1}} .

Факторгруппа группы циклов по группе границ H k = Z k / B k {displaystyle H_{k}=Z_{k}/B_{k}} называется группой сингулярных гомологий.

Пример

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки X = ∗ {displaystyle X=*} .

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение f k : Δ k → ∗ {displaystyle f^{k}:Delta ^{k} o *} .

Граница симплекса ∂ k ( Δ k , f k ) = ∑ ( − 1 ) i ( Δ k − 1 , f i k − 1 ) {displaystyle partial _{k}(Delta ^{k},f^{k})=sum (-1)^{i}(Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1})} , где все f i k − 1 {displaystyle f_{i}^{k-1}} равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим f k − 1 {displaystyle f^{k-1}} ).

Значит:

∂ ( Δ k , f k ) = 0 {displaystyle partial (Delta ^{k},f^{k})=0} , если k {displaystyle k} нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются); ∂ ( Δ k , f k ) = ( Δ k − 1 , f k − 1 ) {displaystyle partial (Delta ^{k},f^{k})=(Delta ^{k-1},f^{k-1})} , если k ≠ 0 {displaystyle k ot =0} и четно; ∂ ( Δ k , f k ) = 0 {displaystyle partial (Delta ^{k},f^{k})=0} , если k = 0 {displaystyle k=0} .

Отсюда получаем для нулевой размерности: Z 0 = C 0 = Z ; B 0 = 0 ; H 0 = Z . {displaystyle Z_{0}=C_{0}=mathbb {Z} ;quad B_{0}=0;quad H_{0}=mathbb {Z} .}

Для нечётной размерности k = 2 n − 1 : Z k = C k = Z ; B k = Z ; H k = 0. {displaystyle k=2n-1:Z_{k}=C_{k}=mathbb {Z} ;quad B_{k}=mathbb {Z} ;quad H_{k}=0.}

Для чётной размерности k = 2 n ≠ 0 : Z k = 0 ; B k = 0 ; H k = 0. {displaystyle k=2n ot =0:Z_{k}=0;quad B_{k}=0;quad H_{k}=0.}

То есть группа гомологий равна Z {displaystyle mathbb {Z} } для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

История

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.