Открытое множество

Открытое множество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Евклидово пространство

Пусть U ⊂ R n {displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}} есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда U {displaystyle U} называется открытым, если ∀ x 0 ∈ U ∃ ε > 0 , {displaystyle forall x_{0}in U;exists varepsilon >0,} такое что V ε ( x 0 ) ⊂ U {displaystyle V_{varepsilon }(x_{0})subset U} , где V ε ( x 0 ) ≡ { x ∈ R n : ‖ x − x 0 ‖ < ε } {displaystyle V_{varepsilon }(x_{0})equiv left{xin mathbb {R} ^{n}:|x-x_{0}|<varepsilon ight}} — ε-окрестность точки x 0 . {displaystyle x_{0}.}

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, интервал ( a , b ) {displaystyle (a,b)} как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок [ a , b ] {displaystyle [a,b]} или полуинтервал [ a , b ) {displaystyle [a,b)} не являются открытыми, так как точка a {displaystyle a} принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.

Метрическое пространство

Пусть ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} — некоторое метрическое пространство, и U ⊂ X {displaystyle Usubset X} . Тогда U {displaystyle U} называется открытым, если ∀ x 0 ∈ U ∃ ε > 0 , {displaystyle forall x_{0}in U;exists varepsilon >0,} такое что V ε ( x 0 ) ⊂ U {displaystyle V_{varepsilon }(x_{0})subset U} , где V ε ( x 0 ) ≡ { x ∈ X ∣ ρ ( x , x 0 ) < ε } {displaystyle V_{varepsilon }(x_{0})equiv {xin Xmid ho (x,x_{0})<varepsilon }} — ε-окрестность точки x 0 {displaystyle x_{0}} относительно метрики ρ {displaystyle ho } . Другими словами, множество U {displaystyle U} в метрическом пространстве ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} называется открытым множеством, если каждая точка x 0 {displaystyle x_{0}} множества U {displaystyle U} входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке x 0 {displaystyle x_{0}} .

Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство ( X , T ) {displaystyle (X,{mathcal {T}})} по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств T {displaystyle {mathcal {T}}} — «топологию», определённую на X {displaystyle X} . Подмножество U ⊂ X {displaystyle Usubset X} , такое, что оно является элементом топологии (то есть U ∈ T {displaystyle Uin {mathcal {T}}} ), называется открытым множеством относительно топологии T {displaystyle {mathcal {T}}} .

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество G {displaystyle G} содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества G {displaystyle G} .