Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




21.04.2021


21.04.2021


20.04.2021


19.04.2021


16.04.2021





Яндекс.Метрика





Уравнения Фёппля — фон Кармана

25.02.2021

Уравнения Фёппля — фон Кармана — уравнения в теории упругости названы в честь Августа Фёппля и Теодора фон Кармана, представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие прогибы тонких плоских пластин. Применяются в различных областях, начиная от проектирования подводных корпусов подводных лодок до механических свойств клеточной стенки. Эти уравнения, которые трудно решить, имеют следующий вид:

( 1 ) E h 3 12 ( 1 − ν 2 ) ∇ 4 w − h ∂ ∂ x β ( σ α β ∂ w ∂ x α ) = P ( 2 ) ∂ σ α β ∂ x β = 0 {displaystyle {egin{aligned}(1)qquad &{frac {Eh^{3}}{12(1- u ^{2})}} abla ^{4}w-h{frac {partial }{partial x_{eta }}}left(sigma _{alpha eta }{frac {partial w}{partial x_{alpha }}} ight)=P(2)qquad &{frac {partial sigma _{alpha eta }}{partial x_{eta }}}=0end{aligned}}}

где E — модуль Юнга материала пластины (предполагается однородной и изотропной), υ — коэффициент Пуассона, h — толщина пластины, w — прогиб пластины вне плоскости, P — внешняя нормальная сила на единицу площади пластины, σαβ — тензор напряжений, и α, β — индексы, которые принимают значения 1 и 2 (два ортогональные в плоскости направления). 2-мерный бигармонический оператор определяется как

( 1 ) E h 3 12 ( 1 − ν 2 ) ∇ 4 w − h ∂ ∂ x β ( σ α β ∂ w ∂ x α ) = P ( 2 ) ∂ σ α β ∂ x β = 0 {displaystyle {egin{aligned}(1)qquad &{frac {Eh^{3}}{12(1- u ^{2})}} abla ^{4}w-h{frac {partial }{partial x_{eta }}}left(sigma _{alpha eta }{frac {partial w}{partial x_{alpha }}} ight)=P(2)qquad &{frac {partial sigma _{alpha eta }}{partial x_{eta }}}=0end{aligned}}}

Уравнение (1) можно получить из кинематических допущений и уравнений связи для пластины. Уравнения (2) описывают сохранение импульса в двух измерениях, где предполагается, что в плоскости напряжения (σ33,σ13,σ23) равны нулю.

Границы применимости

Уравнения Фёппля — фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, но физическое применение этих уравнений сомнительно. Ciarlet утверждает, что: двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. В то время как они часто и с достаточной точностью изучались с математической точки зрения, включая различные вопросы существования, регулярности и бифуркации решений, но их физическая обоснованность часто подвергалась сомнению. Причины включают в себя следующие факты:

  • теория зависит от геометрического приближения, которое четко не определено;
  • произвольным образом задаётся изменение напряжения в поперечном сечении;
  • используются линейные материальные уравнения, что не соответствует известным соотношением между хорошо определёнными напряжениями и деформациями;
  • произвольно игнорируются некоторые компоненты деформации;
  • существует путаница между расчетной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она была, видимо, придумана.
  • Условия, при которых эти уравнения фактически применимы и дают разумные результаты после решения обсуждаются Ciarlet.

    Уравнения в терминах функции напряжений Эйри

    Три уравнения Фёппля — фон Кармана можно сократить до двух путем введения функции напряжения Эйри φ {displaystyle varphi } , где

    σ 11 = ∂ 2 φ ∂ x 2 2   ,     σ 22 = ∂ 2 φ ∂ x 1 2   ,     σ 12 = − ∂ 2 φ ∂ x 1 ∂ x 2 . {displaystyle sigma _{11}={frac {partial ^{2}varphi }{partial x_{2}^{2}}}~,~~sigma _{22}={frac {partial ^{2}varphi }{partial x_{1}^{2}}}~,~~sigma _{12}=-{frac {partial ^{2}varphi }{partial x_{1}partial x_{2}}},.}

    Затем эти уравнения сводятся к

    E h 3 12 ( 1 − ν 2 ) Δ 2 w − h ( ∂ 2 φ ∂ x 2 2 ∂ 2 w ∂ x 1 2 + ∂ 2 φ ∂ x 1 2 ∂ 2 w ∂ x 2 2 − 2 ∂ 2 φ ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 ) = P {displaystyle {frac {Eh^{3}}{12(1- u ^{2})}}Delta ^{2}w-hleft({frac {partial ^{2}varphi }{partial x_{2}^{2}}}{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {partial ^{2}varphi }{partial x_{1}^{2}}}{frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}}-2{frac {partial ^{2}varphi }{partial x_{1},partial x_{2}}}{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1},partial x_{2}}} ight)=P} Δ 2 φ + E { ∂ 2 w ∂ x 1 2 ∂ 2 w ∂ x 2 2 − ( ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 ) 2 } = 0 . {displaystyle Delta ^{2}varphi +Eleft{{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}}{frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}}-left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1},partial x_{2}}} ight)^{2} ight}=0,.}

    Чистый изгиб

    Для чистого изгиба тонких пластин уравнения равновесия D Δ 2   w = P {displaystyle DDelta ^{2} w=P} , где

    D := E h 3 12 ( 1 − ν 2 ) {displaystyle D:={frac {Eh^{3}}{12(1- u ^{2})}}}

    называется изгибной или цилиндрической жесткостью пластины.

    Кинематические предположения (гипотезы Кирхгофа)

    При выводе уравнений Фёппля — фон Кармана предполагается верным следующее кинематическое соотношение (также известное как гипотеза Кирхгофа): нормали к поверхности пластины остаются перпендикулярными к пластине после деформации. Также предполагается, что перемещения в плоскости мембраны незначительны и изменения в толщине пластины пренебрежимо малы. Эти предположения подразумевают, что поле смещения u пластины можно выразить как

    u 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = v 1 ( x 1 , x 2 ) − x 3 ∂ w ∂ x 1   ,     u 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = v 2 ( x 1 , x 2 ) − x 3 ∂ w ∂ x 2   ,     u 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = w ( x 1 , x 2 ) {displaystyle u_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{1}(x_{1},x_{2})-x_{3},{frac {partial w}{partial x_{1}}}~,~~u_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{2}(x_{1},x_{2})-x_{3},{frac {partial w}{partial x_{2}}}~,~~u_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=w(x_{1},x_{2})}

    где v — перемещения в плоскости мембраны. Такая форма поля перемещений неявно предполагает, что вращение пластины мало.

    Соотношения между деформациями и перемещениями (деформации фон Кармана)

    Компоненты трехмерного лагранжиана тензора деформаций Грина определяются как

    E i j := 1 2 [ ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i + ∂ u k ∂ x i ∂ u k ∂ x j ] . {displaystyle E_{ij}:={frac {1}{2}}left[{frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}+{frac {partial u_{k}}{partial x_{i}}},{frac {partial u_{k}}{partial x_{j}}} ight],.}

    Подстановка выражений для поля смещения даёт

    E 11 = ∂ u 1 ∂ x 1 + 1 2 [ ( ∂ u 1 ∂ x 1 ) 2 + ( ∂ u 2 ∂ x 1 ) 2 + ( ∂ u 3 ∂ x 1 ) 2 ] = − x 3 ∂ 2 w ∂ x 1 2 + 1 2 [ x 3 2 ( ∂ 2 w ∂ x 1 2 ) 2 + x 3 2 ( ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 ) 2 + ( ∂ w ∂ x 1 ) 2 ] E 22 = ∂ u 2 ∂ x 2 + 1 2 [ ( ∂ u 1 ∂ x 2 ) 2 + ( ∂ u 2 ∂ x 2 ) 2 + ( ∂ u 3 ∂ x 2 ) 2 ] = − x 3 ∂ 2 w ∂ x 2 2 + 1 2 [ x 3 2 ( ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 ) 2 + x 3 2 ( ∂ 2 w ∂ x 2 2 ) 2 + ( ∂ w ∂ x 2 ) 2 ] E 33 = ∂ u 3 ∂ x 3 + 1 2 [ ( ∂ u 1 ∂ x 3 ) 2 + ( ∂ u 2 ∂ x 3 ) 2 + ( ∂ u 3 ∂ x 3 ) 2 ] = 1 2 [ ( ∂ w ∂ x 1 ) 2 + ( ∂ w ∂ x 2 ) 2 ] E 12 = 1 2 [ ∂ u 1 ∂ x 2 + ∂ u 2 ∂ x 1 + ∂ u 1 ∂ x 1 ∂ u 1 ∂ x 2 + ∂ u 2 ∂ x 1 ∂ u 2 ∂ x 2 + ∂ u 3 ∂ x 1 ∂ u 3 ∂ x 2 ] = − x 3 ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 + 1 2 [ x 3 2 ( ∂ 2 w ∂ x 1 2 ) ( ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 ) + x 3 2 ( ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 ) ( ∂ 2 w ∂ x 2 2 ) + ∂ w ∂ x 1 ∂ w ∂ x 2 ] E 23 = 1 2 [ ∂ u 2 ∂ x 3 + ∂ u 3 ∂ x 2 + ∂ u 1 ∂ x 2 ∂ u 1 ∂ x 3 + ∂ u 2 ∂ x 2 ∂ u 2 ∂ x 3 + ∂ u 3 ∂ x 2 ∂ u 3 ∂ x 3 ] = 1 2 [ x 3 ( ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 ) ( ∂ w ∂ x 1 ) + x 3 ( ∂ 2 w ∂ x 2 2 ) ( ∂ w ∂ x 2 ) ] E 31 = 1 2 [ ∂ u 3 ∂ x 1 + ∂ u 1 ∂ x 3 + ∂ u 1 ∂ x 3 ∂ u 1 ∂ x 1 + ∂ u 2 ∂ x 3 ∂ u 2 ∂ x 1 + ∂ u 3 ∂ x 3 ∂ u 3 ∂ x 1 ] = 1 2 [ x 3 ( ∂ w ∂ x 1 ) ( ∂ 2 w ∂ x 1 2 ) + x 3 ( ∂ w ∂ x 2 ) ( ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 ) ] {displaystyle {egin{aligned}E_{11}&={frac {partial u_{1}}{partial x_{1}}}+{frac {1}{2}}left[left({frac {partial u_{1}}{partial x_{1}}} ight)^{2}+left({frac {partial u_{2}}{partial x_{1}}} ight)^{2}+left({frac {partial u_{3}}{partial x_{1}}} ight)^{2} ight]&=-x_{3},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {1}{2}}left[x_{3}^{2}left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}} ight)^{2}+x_{3}^{2}left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}} ight)^{2}+left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)^{2} ight]E_{22}&={frac {partial u_{2}}{partial x_{2}}}+{frac {1}{2}}left[left({frac {partial u_{1}}{partial x_{2}}} ight)^{2}+left({frac {partial u_{2}}{partial x_{2}}} ight)^{2}+left({frac {partial u_{3}}{partial x_{2}}} ight)^{2} ight]&=-x_{3},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}}+{frac {1}{2}}left[x_{3}^{2}left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}} ight)^{2}+x_{3}^{2}left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}} ight)^{2}+left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)^{2} ight]E_{33}&={frac {partial u_{3}}{partial x_{3}}}+{frac {1}{2}}left[left({frac {partial u_{1}}{partial x_{3}}} ight)^{2}+left({frac {partial u_{2}}{partial x_{3}}} ight)^{2}+left({frac {partial u_{3}}{partial x_{3}}} ight)^{2} ight]&={frac {1}{2}}left[left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)^{2}+left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)^{2} ight]E_{12}&={frac {1}{2}}left[{frac {partial u_{1}}{partial x_{2}}}+{frac {partial u_{2}}{partial x_{1}}}+{frac {partial u_{1}}{partial x_{1}}},{frac {partial u_{1}}{partial x_{2}}}+{frac {partial u_{2}}{partial x_{1}}},{frac {partial u_{2}}{partial x_{2}}}+{frac {partial u_{3}}{partial x_{1}}},{frac {partial u_{3}}{partial x_{2}}} ight]&=-x_{3}{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}}+{frac {1}{2}}left[x_{3}^{2}left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}} ight)left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}} ight)+x_{3}^{2}left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}} ight)left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}} ight)+{frac {partial w}{partial x_{1}}},{frac {partial w}{partial x_{2}}} ight]E_{23}&={frac {1}{2}}left[{frac {partial u_{2}}{partial x_{3}}}+{frac {partial u_{3}}{partial x_{2}}}+{frac {partial u_{1}}{partial x_{2}}},{frac {partial u_{1}}{partial x_{3}}}+{frac {partial u_{2}}{partial x_{2}}},{frac {partial u_{2}}{partial x_{3}}}+{frac {partial u_{3}}{partial x_{2}}},{frac {partial u_{3}}{partial x_{3}}} ight]&={frac {1}{2}}left[x_{3}left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}} ight)left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)+x_{3}left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}} ight)left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight) ight]E_{31}&={frac {1}{2}}left[{frac {partial u_{3}}{partial x_{1}}}+{frac {partial u_{1}}{partial x_{3}}}+{frac {partial u_{1}}{partial x_{3}}},{frac {partial u_{1}}{partial x_{1}}}+{frac {partial u_{2}}{partial x_{3}}},{frac {partial u_{2}}{partial x_{1}}}+{frac {partial u_{3}}{partial x_{3}}},{frac {partial u_{3}}{partial x_{1}}} ight]&={frac {1}{2}}left[x_{3}left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}} ight)+x_{3}left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)left({frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}} ight) ight]end{aligned}}}

    Для малых деформаций, но умеренных поворотов, поправки высших порядков, которыми нельзя пренебюречь

    ( ∂ w ∂ x 1 ) 2   ,     ( ∂ w ∂ x 2 ) 2   ,     ∂ w ∂ x 1 ∂ w ∂ x 2 . {displaystyle left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)^{2}~,~~left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)^{2}~,~~{frac {partial w}{partial x_{1}}},{frac {partial w}{partial x_{2}}},.}

    Игнорируя все высшие порядки, и соблюдая требования о том, что пластина не меняет своей толщины, компоненты тензора деформации приводятся к виду деформаций фон Кармана

    E 11 = − x 3 ∂ 2 w ∂ x 1 2 + 1 2 ( ∂ w ∂ x 1 ) 2 E 22 = − x 3 ∂ 2 w ∂ x 2 2 + 1 2 ( ∂ w ∂ x 2 ) 2 E 12 = − x 3 ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 + 1 2 ∂ w ∂ x 1 ∂ w ∂ x 2 E 33 = 0   ,     E 23 = 0   ,     E 31 = 0 . {displaystyle {egin{aligned}E_{11}&=-x_{3},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {1}{2}}left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)^{2}E_{22}&=-x_{3},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}}+{frac {1}{2}}left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)^{2}E_{12}&=-x_{3}{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}}+{frac {1}{2}},{frac {partial w}{partial x_{1}}},{frac {partial w}{partial x_{2}}}E_{33}&=0~,~~E_{23}=0~,~~E_{31}=0,.end{aligned}}}

    Соотношения напряжения–деформации

    Если предположить, что компоненты тензора напряжений Коши линейно связаны с деформациями фон Кармана посредством закона Гука, пластина изотропная и однородная и, что пластина подвержена только плоским напряжениям мы имеем σ33 = σ13 = σ23 = 0 и

    [ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E ( 1 − ν 2 ) [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ E 11 E 22 E 12 ] {displaystyle {egin{bmatrix}sigma _{11}sigma _{22}sigma _{12}end{bmatrix}}={cfrac {E}{(1- u ^{2})}}{egin{bmatrix}1& u &0 u &1&0&0&1- u end{bmatrix}}{egin{bmatrix}E_{11}E_{22}E_{12}end{bmatrix}}}

    Разлагая слагаемые получим три ненулевые напряжения

    σ 11 = E ( 1 − ν 2 ) [ ( − x 3 ∂ 2 w ∂ x 1 2 + 1 2 ( ∂ w ∂ x 1 ) 2 ) + ν ( − x 3 ∂ 2 w ∂ x 2 2 + 1 2 ( ∂ w ∂ x 2 ) 2 ) ] σ 22 = E ( 1 − ν 2 ) [ ν ( − x 3 ∂ 2 w ∂ x 1 2 + 1 2 ( ∂ w ∂ x 1 ) 2 ) + ( − x 3 ∂ 2 w ∂ x 2 2 + 1 2 ( ∂ w ∂ x 2 ) 2 ) ] σ 12 = E ( 1 + ν ) [ − x 3 ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 + 1 2 ∂ w ∂ x 1 ∂ w ∂ x 2 ] . {displaystyle {egin{aligned}sigma _{11}&={cfrac {E}{(1- u ^{2})}}left[left(-x_{3},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {1}{2}}left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)^{2} ight)+ u left(-x_{3},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}}+{frac {1}{2}}left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)^{2} ight) ight]sigma _{22}&={cfrac {E}{(1- u ^{2})}}left[ u left(-x_{3},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {1}{2}}left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)^{2} ight)+left(-x_{3},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}}+{frac {1}{2}}left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)^{2} ight) ight]sigma _{12}&={cfrac {E}{(1+ u )}}left[-x_{3}{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}}+{frac {1}{2}},{frac {partial w}{partial x_{1}}},{frac {partial w}{partial x_{2}}} ight],.end{aligned}}}

    Результирующие напряжения

    Результирующие напряжения в пластине определяются как

    N α β := ∫ − h / 2 h / 2 σ α β d x 3   ,     M α β := ∫ − h / 2 h / 2 x 3 σ α β d x 3 . {displaystyle N_{alpha eta }:=int _{-h/2}^{h/2}sigma _{alpha eta },dx_{3}~,~~M_{alpha eta }:=int _{-h/2}^{h/2}x_{3},sigma _{alpha eta },dx_{3},.}

    Поэтому

    N 11 = E h 2 ( 1 − ν 2 ) [ ( ∂ w ∂ x 1 ) 2 + ν ( ∂ w ∂ x 2 ) 2 ] N 22 = E h 2 ( 1 − ν 2 ) [ ν ( ∂ w ∂ x 1 ) 2 + ( ∂ w ∂ x 2 ) 2 ] N 12 = E h 2 ( 1 + ν ) ∂ w ∂ x 1 ∂ w ∂ x 2 {displaystyle {egin{aligned}N_{11}&={cfrac {Eh}{2(1- u ^{2})}}left[left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)^{2}+ u left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)^{2} ight]N_{22}&={cfrac {Eh}{2(1- u ^{2})}}left[ u left({frac {partial w}{partial x_{1}}} ight)^{2}+left({frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)^{2} ight]N_{12}&={cfrac {Eh}{2(1+ u )}},{frac {partial w}{partial x_{1}}},{frac {partial w}{partial x_{2}}}end{aligned}}}

    и

    M 11 = − E h 3 12 ( 1 − ν 2 ) [ ∂ 2 w ∂ x 1 2 + ν ∂ 2 w ∂ x 2 2 ] M 22 = − E h 3 12 ( 1 − ν 2 ) [ ν ∂ 2 w ∂ x 1 2 + ∂ 2 w ∂ x 2 2 ] M 12 = − E h 3 12 ( 1 + ν ) ∂ 2 w ∂ x 1 ∂ x 2 . {displaystyle {egin{aligned}M_{11}&=-{cfrac {Eh^{3}}{12(1- u ^{2})}}left[{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}}+ u ,{frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}} ight]M_{22}&=-{cfrac {Eh^{3}}{12(1- u ^{2})}}left[ u ,{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {partial ^{2}w}{partial x_{2}^{2}}} ight]M_{12}&=-{cfrac {Eh^{3}}{12(1+ u )}},{frac {partial ^{2}w}{partial x_{1}partial x_{2}}},.end{aligned}}}

    Решения легче найти, когда уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не напряжения в плоскости.

    Уравнения Фёппля — фон Кармана выраженные через результирующие напряжения

    Уравнения Фёппля — фон Кармана как правило, получают с помощью энергетического подхода с учетом изменения внутренней энергии и виртуальную работу внешних сил. Аналогичный подход можно использовать для записи этих уравнений через результирующие напряжения. Определяющие уравнения

    ∂ 2 M 11 ∂ x 1 2 + ∂ 2 M 22 ∂ x 2 2 + 2 ∂ 2 M 12 ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ ∂ x 1 ( N 11 ∂ w ∂ x 1 + N 12 ∂ w ∂ x 2 ) + ∂ ∂ x 2 ( N 12 ∂ w ∂ x 1 + N 22 ∂ w ∂ x 2 ) = P ∂ N α β ∂ x β = 0 . {displaystyle {egin{aligned}&{frac {partial ^{2}M_{11}}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {partial ^{2}M_{22}}{partial x_{2}^{2}}}+2{frac {partial ^{2}M_{12}}{partial x_{1}partial x_{2}}}+{frac {partial }{partial x_{1}}}left(N_{11},{frac {partial w}{partial x_{1}}}+N_{12},{frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)+{frac {partial }{partial x_{2}}}left(N_{12},{frac {partial w}{partial x_{1}}}+N_{22},{frac {partial w}{partial x_{2}}} ight)=P&{frac {partial N_{alpha eta }}{partial x_{eta }}}=0,.end{aligned}}}