Теорема Риса — Фишера

Теорема Риса — Фишера — утверждение функционального анализа об изометричности и изоморфности пространства Лебега L 2 ( a , b ) {displaystyle L_{2}left(a,b ight)} и пространства Гильберта l 2 {displaystyle l_{2}} .

Доказана в 1907 году независимо Фридьешем Рисом и Эрнстом Фишером (нем. Ernst Sigismund Fischer).

Доказательство

Возьмём в пространстве L 2 ( a , b ) {displaystyle L_{2}left(a,b ight)} какую-нибудь полную ортонормальную систему { φ i ( t ) } {displaystyle left{varphi _{i}(t) ight}} . Тогда для любого x ( t ) ∈ L 2 ( a , b ) {displaystyle x(t)in L_{2}left(a,b ight)} имеем x ( t ) = ∑ i = 1 ∞ ξ i φ i ( t ) , ξ i = ( x , φ i ) {displaystyle x(t)=sum _{i=1}^{infty }xi _{i}varphi _{i}(t),xi _{i}=left(x,varphi _{i} ight)} , причем в силу равенства Парсеваля ∑ i = 1 ∞ ξ i 2 = ‖ x ‖ 2 < ∞ {displaystyle sum _{i=1}^{infty }xi _{i}^{2}=left|x ight|^{2}<infty } . Таким образом, последовательность коэффициентов Фурье функции x ( t ) ∈ L 2 ( a , b ) {displaystyle x(t)in L_{2}left(a,b ight)} можно рассматривать как элемент x ∈ l 2 {displaystyle xin l_{2}} гильбертова пространства l 2 {displaystyle l_{2}} x = { ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n , . . . } {displaystyle x=left{xi _{1},xi _{2},...,xi _{n},... ight}} . При этом соответствие x ( t ) → x {displaystyle x(t) ightarrow x} однозначно. Пусть, наоборот, дан элемент y ¯ = { η 1 , η 2 , . . . , η n , . . . } {displaystyle {ar {y}}=left{eta _{1},eta _{2},...,eta _{n},... ight}} гильбертова пространства l 2 {displaystyle l_{2}} . Рассмотрим в L 2 ( a , b ) {displaystyle L_{2}left(a,b ight)} формально ряд ∑ i = 1 ∞ η i φ i ( t ) {displaystyle sum _{i=1}^{infty }eta _{i}varphi _{i}(t)} , где { φ i ( t ) } {displaystyle left{varphi _{i}(t) ight}} — та же самая полная ортонормальная система. Последовательность s n ( t ) = ∑ i = 1 n η i φ i ( t ) {displaystyle s_{n}(t)=sum _{i=1}^{n}eta _{i}varphi _{i}(t)} частичных сумм этого ряда сходится в среднем в себе, ибо ‖ s n + p − s n ‖ 2 = ‖ ∑ i = n + 1 n + p η i φ i ( t ) ‖ 2 = ∑ i = n + 1 n + p η i 2 → 0 {displaystyle left|s_{n+p}-s_{n} ight|^{2}=left|sum _{i=n+1}^{n+p}eta _{i}varphi _{i}(t) ight|^{2}=sum _{i=n+1}^{n+p}eta _{i}^{2} ightarrow 0} при n → ∞ {displaystyle n ightarrow infty } и p > 0 {displaystyle p>0} в силу сходимости ряда ∑ i = 1 ∞ η i 2 {displaystyle sum _{i=1}^{infty }eta _{i}^{2}} . Так как пространство L 2 ( a , b ) {displaystyle L_{2}left(a,b ight)} полное, это значит, что ряд ∑ i = 1 ∞ η i φ i ( t ) {displaystyle sum _{i=1}^{infty }eta _{i}varphi _{i}(t)} сходится, его сумма имеет коэффициенты Фурье η i {displaystyle eta _{i}} и эту сумму y ( t ) ∈ L 2 ( a , b ) {displaystyle y(t)in L_{2}left(a,b ight)} ставим в соответствие элементу y ¯ {displaystyle {ar {y}}} . Опять соответствие y ¯ → y ( t ) {displaystyle {ar {y}} ightarrow y(t)} однозначно. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространства L 2 ( a , b ) {displaystyle L_{2}left(a,b ight)} и l 2 {displaystyle l_{2}} . Так как, очевидно x ( t ) + y ( t ) = ∑ i = 1 ∞ ξ i φ i ( t ) + ∑ i = 1 ∞ η i φ i ( t ) = ∑ i = 1 ∞ ( ξ i + η i ) φ i ( t ) {displaystyle x(t)+y(t)=sum _{i=1}^{infty }xi _{i}varphi _{i}(t)+sum _{i=1}^{infty }eta _{i}varphi _{i}(t)=sum _{i=1}^{infty }left(xi _{i}+eta _{i} ight)varphi _{i}(t)} и λ x ( t ) = λ ∑ i = 1 ∞ ξ i φ i ( t ) = ∑ i = 1 ∞ λ ξ i φ i ( t ) {displaystyle lambda x(t)=lambda sum _{i=1}^{infty }xi _{i}varphi _{i}(t)=sum _{i=1}^{infty }lambda xi _{i}varphi _{i}(t)} , то из x ( t ) ↔ x , y ( t ) ↔ y {displaystyle x(t)leftrightarrow x,y(t)leftrightarrow y} следует x ( t ) + y ( t ) ↔ x + y , λ x ( t ) ↔ λ x {displaystyle x(t)+y(t)leftrightarrow x+y,lambda x(t)leftrightarrow lambda x} , то есть установленное нами соответствие есть изоморфизм. Наконец, для любых двух элементов x ( t ) , y ( t ) ∈ L 2 ( a , b ) {displaystyle x(t),y(t)in L_{2}left(a,b ight)} имеем в силу равенства Парсеваля ‖ x ( t ) − y ( t ) ‖ 2 = ‖ ∑ i = 1 ∞ ( ξ i − η i ) φ i ( t ) ‖ 2 = ∑ i = 1 ∞ ( ξ i − η i ) 2 = ‖ x − y ‖ 2 {displaystyle left|x(t)-y(t) ight|^{2}=left|sum _{i=1}^{infty }left(xi _{i}-eta _{i} ight)varphi _{i}(t) ight|^{2}=sum _{i=1}^{infty }left(xi _{i}-eta _{i} ight)^{2}=left|x-y ight|^{2}} и установленное нами соответствие сохранит расстояние, то есть L 2 ( a , b ) {displaystyle L_{2}left(a,b ight)} и l 2 {displaystyle l_{2}} изометричны.