Несчётное множество

Несчётное множество — бесконечное множество, не являющееся счётным.

Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества X {displaystyle X} :

• не существует инъективного отображения X {displaystyle X} во множество натуральных чисел N {displaystyle mathbb {N} } ;
• X {displaystyle X} не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов X {displaystyle X} существует по крайней мере один элемент X {displaystyle X} , не входящий в неё;
  • иными словами: X {displaystyle X} непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел N {displaystyle mathbb {N} } на X {displaystyle X} ;
• мощность X {displaystyle X} не является ни конечной, ни равной ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} .

Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим:

• мощность X {displaystyle X} строго превышает ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}}

— требует привлечения аксиомы выбора.

Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы.