Математический маятник

Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

T 0 = 2 π L g {displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {L over g}}}

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса L {displaystyle L} , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника

Если в записи второго закона Ньютона m a → = F → {displaystyle m{vec {a}}={vec {F}}} для математического маятника выделить тангенциальную составляющую ( m a τ = F τ ) {displaystyle ma_{ au }=F_{ au })} , получится выражение

m L θ ¨ = − m g sin ⁡ θ {displaystyle mL{ddot { heta }}=-mgsin heta } ,

так как a τ = v ˙ = d / d t ( L d θ / d t ) {displaystyle a_{ au }={dot {v}}=d/dt(Ld heta /dt)} , а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту F τ {displaystyle F_{ au }} даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

θ ¨ + g L sin ⁡ θ = 0 {displaystyle {ddot { heta }}+{frac {g}{L}}sin heta =0} ,

где неизвестная функция θ ( t ) {displaystyle heta (t)} ― это угол отклонения маятника в момент t {displaystyle t} от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, L {displaystyle L} ― длина подвеса, g {displaystyle g} ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов sin ⁡ θ ≈ θ {displaystyle sin heta approx heta } это уравнение превращается в

θ ¨ + g L θ = 0 {displaystyle {ddot { heta }}+{frac {g}{L}} heta =0} .

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол θ {displaystyle heta } и его производную θ ˙ {displaystyle {dot { heta }}} при t = 0 {displaystyle t=0} .

Решения уравнения движения

Возможные типы решений

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости θ ˙ {displaystyle {dot { heta }}} от угла θ {displaystyle heta } . По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

Маятник висит
Малые колебания (размах 45°)
Колебания с размахом 90°
Колебания с размахом 135°
Колебания с размахом 170°
Фиксация в верхнем положении
Движение близкое к сепаратрисе
Вращение маятника

Гармонические колебания

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена sin ⁡ θ ≈ θ {displaystyle sin heta approx heta } , называется гармоническим уравнением:

θ ¨ + ω 0 2 θ = 0 {displaystyle {ddot { heta }}+omega _{0}^{2} heta =0} ,

где ω 0 = g / L {displaystyle omega _{0}={sqrt {g/L}}} ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» x = L sin ⁡ θ ≈ L θ {displaystyle x=Lsin heta approx L heta } (ось x {displaystyle x} лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

x ¨ + ω 0 2 x = 0 {displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0} .

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону:

x = A sin ⁡ ( ω 0 t + α ) {displaystyle x=Asin(omega _{0}t+alpha )} ,

где A {displaystyle A} — амплитуда колебаний маятника, α {displaystyle alpha } — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной x {displaystyle x} , то при t = 0 {displaystyle t=0} необходимо задать координату x 0 {displaystyle x_{0}} и скорость v x 0 {displaystyle v_{x0}} , что позволит найти две независимые константы A {displaystyle A} , α {displaystyle alpha } из соотношений x 0 = A sin ⁡ α {displaystyle x_{0}=Asin alpha } и v x 0 = A ω 0 cos ⁡ α {displaystyle v_{x0}=Aomega _{0}cos alpha } .

Случай нелинейных колебаний

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

sin ⁡ θ 2 = ϰ ⋅ sn ⁡ ( ω 0 t ; ϰ ) , {displaystyle sin {frac { heta }{2}}=varkappa cdot operatorname {sn} (omega _{0}t;varkappa ),}

где sn {displaystyle operatorname {sn} } — это синус Якоби. Для ϰ < 1 {displaystyle varkappa <1} он является периодической функцией, при малых ϰ {displaystyle varkappa } совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр ϰ {displaystyle varkappa } определяется выражением

ϰ = ε + ω 0 2 2 ω 0 2 , ε = E m L 2 {displaystyle varkappa ={frac {varepsilon +omega _{0}^{2}}{2omega _{0}^{2}}},quad varepsilon ={frac {E}{mL^{2}}}} .

Период колебаний нелинейного маятника составляет

T = 2 π Ω , Ω = π 2 ω 0 K ( ϰ ) {displaystyle T={frac {2pi }{Omega }},quad Omega ={frac {pi }{2}}{frac {omega _{0}}{K(varkappa )}}} ,

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

T = T 0 { 1 + ( 1 2 ) 2 sin 2 ⁡ ( θ 0 2 ) + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 sin 4 ⁡ ( θ 0 2 ) + ⋯ + [ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ] 2 sin 2 n ⁡ ( θ 0 2 ) + … } {displaystyle T=T_{0}left{1+left({frac {1}{2}} ight)^{2}sin ^{2}left({frac { heta _{0}}{2}} ight)+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}} ight)^{2}sin ^{4}left({frac { heta _{0}}{2}} ight)+dots +left[{frac {left(2n-1 ight)!!}{left(2n ight)!!}} ight]^{2}sin ^{2n}left({frac { heta _{0}}{2}} ight)+dots ight}}

где T 0 = 2 π L g {displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {frac {L}{g}}}} — период малых колебаний, θ 0 {displaystyle heta _{0}} — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

T = T 0 ( 1 + 1 4 sin 2 ⁡ ( θ 0 2 ) ) {displaystyle T=T_{0}left(1+{frac {1}{4}}sin ^{2}left({frac { heta _{0}}{2}} ight) ight)} .

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года:

T = 2 π M ( cos ⁡ ( θ 0 / 2 ) ) L g {displaystyle T={frac {2pi }{M{ig (}cos( heta _{0}/2){ig )}}}{sqrt {frac {L}{g}}}} ,

где M ( s ) {displaystyle M(s)} — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и s {displaystyle s} .

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

Если амплитуда колебания маятника близка к π {displaystyle pi } , то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).