Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




02.03.2021


28.02.2021


26.02.2021


24.02.2021


24.02.2021





Яндекс.Метрика





         » » Пространство состояний (теория управления)

Пространство состояний (теория управления)

07.02.2021

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.

Определение

Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы, а траекторию движения изображающей точки в этом пространстве — фазовой траекторией.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Линейные непрерывные системы

Для случая линейной системы с p {displaystyle p} входами, q {displaystyle q} выходами и n {displaystyle n} переменными состояния описание имеет вид:

x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=A(t)mathbf {x} (t)+B(t)mathbf {u} (t)} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {displaystyle mathbf {y} (t)=C(t)mathbf {x} (t)+D(t)mathbf {u} (t)}

где

x ( t ) ∈ R n {displaystyle x(t)in mathbb {R} ^{n}} ; y ( t ) ∈ R q {displaystyle y(t)in mathbb {R} ^{q}} ; u ( t ) ∈ R p {displaystyle u(t)in mathbb {R} ^{p}} ; dim ⁡ [ A ( ⋅ ) ] = n × n {displaystyle operatorname {dim} [A(cdot )]=n imes n} , dim ⁡ [ B ( ⋅ ) ] = n × p {displaystyle operatorname {dim} [B(cdot )]=n imes p} , dim ⁡ [ C ( ⋅ ) ] = q × n {displaystyle operatorname {dim} [C(cdot )]=q imes n} , dim ⁡ [ D ( ⋅ ) ] = q × p {displaystyle operatorname {dim} [D(cdot )]=q imes p} , x ˙ ( t ) := d x ( t ) d t {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t):={dmathbf {x} (t) over dt}} : x ( ⋅ ) {displaystyle x(cdot )} — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы y ( ⋅ ) {displaystyle y(cdot )} — вектор выхода, u ( ⋅ ) {displaystyle u(cdot )} — вектор управления, A ( ⋅ ) {displaystyle A(cdot )} — матрица системы, B ( ⋅ ) {displaystyle B(cdot )} — матрица управления, C ( ⋅ ) {displaystyle C(cdot )} — матрица выхода, D ( ⋅ ) {displaystyle D(cdot )} — матрица прямой связи.

Часто матрица D ( ⋅ ) {displaystyle D(cdot )} является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системы

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях:

x ( n T + T ) = A ( n T ) x ( n T ) + B ( n T ) u ( n T ) {displaystyle mathbf {x} (nT+T)=A(nT)mathbf {x} (nT)+B(nT)mathbf {u} (nT)} y ( n T ) = C ( n T ) x ( n T ) + D ( n T ) u ( n T ) {displaystyle mathbf {y} (nT)=C(nT)mathbf {x} (nT)+D(nT)mathbf {u} (nT)}

Нелинейные системы

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

x ˙ 1 = f 1 ( x 1 ( t ) ; … , x n ( t ) , u 1 ( t ) , … , u m ( t ) ) {displaystyle {dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1}(t);ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),ldots ,u_{m}(t))} ⋮ {displaystyle vdots } x ˙ n = f n ( x 1 ( t ) ; … , x n ( t ) , u 1 ( t ) , … , u m ( t ) ) {displaystyle {dot {x}}_{n}=f_{n}(x_{1}(t);ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),ldots ,u_{m}(t))}

или в более компактной форме:

x ˙ ( t ) = f ( t , x ( t ) , u ( t ) ) {displaystyle mathbf {dot {x}} (t)=mathbf {f} (t,mathbf {x} (t),mathbf {u} (t))} y ( t ) = h ( t , x ( t ) , u ( t ) ) {displaystyle mathbf {y} (t)=mathbf {h} (t,mathbf {x} (t),mathbf {u} (t))} .

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

Линеаризация

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки ( x ~ , u ~ ) {displaystyle (mathbf { ilde {x}} ,mathbf { ilde {u}} )} . В установившемся режиме ( u ~ = c o n s t ) {displaystyle (mathbf { ilde {u}} =const)} для рабочей точки x ~ = c o n s t , {displaystyle mathbf { ilde {x}} =const,} справедливо следующее выражение:

x ˙ = f ( x ~ , u ~ ) = 0 {displaystyle mathbf {dot {x}} =mathbf {f} (mathbf { ilde {x}} ,mathbf { ilde {u}} )=mathbf {0} }

Вводя обозначения:

δ u = u − u ~ {displaystyle delta mathbf {u} =mathbf {u} -mathbf { ilde {u}} } δ x = x − x ~ {displaystyle delta mathbf {x} =mathbf {x} -mathbf { ilde {x}} }

Разложение уравнения состояния f ( x ( t ) , u ( t ) ) {displaystyle mathbf {f} (mathbf {x} (t),mathbf {u} (t))} в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

f ( x ( t ) , u ( t ) ) ≈ f ( x ~ ( t ) , u ~ ( t ) ) + δ f δ x δ x + δ f δ u δ u {displaystyle mathbf {f} (mathbf {x} (t),mathbf {u} (t))approx mathbf {f} (mathbf { ilde {x}} (t),mathbf { ilde {u}} (t))+{frac {delta mathbf {f} }{delta mathbf {x} }}delta mathbf {x} +{frac {delta mathbf {f} }{delta mathbf {u} }}delta mathbf {u} }

При взятии частных производных вектор-функции f {displaystyle mathbf {f} } по вектору переменных состояний x {displaystyle mathbf {x} } и вектору входных воздействий u {displaystyle mathbf {u} } получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

δ f δ x = [ δ f 1 δ x 1 ⋯ δ f 1 δ x n ⋮ ⋱ ⋮ δ f n δ x 1 ⋯ δ f n δ x n ] δ f δ u = [ δ f 1 δ u 1 ⋯ δ f 1 δ u p ⋮ ⋱ ⋮ δ f n δ u 1 ⋯ δ f n δ u p ] {displaystyle {frac {delta mathbf {f} }{delta mathbf {x} }}={egin{bmatrix}{frac {delta mathbf {f_{1}} }{delta mathbf {x_{1}} }}&cdots &{frac {delta mathbf {f_{1}} }{delta mathbf {x_{n}} }}vdots &ddots &vdots {frac {delta mathbf {f_{n}} }{delta mathbf {x_{1}} }}&cdots &{frac {delta mathbf {f_{n}} }{delta mathbf {x_{n}} }}end{bmatrix}}quad {frac {delta mathbf {f} }{delta mathbf {u} }}={egin{bmatrix}{frac {delta mathbf {f_{1}} }{delta mathbf {u_{1}} }}&cdots &{frac {delta mathbf {f_{1}} }{delta mathbf {u_{p}} }}vdots &ddots &vdots {frac {delta mathbf {f_{n}} }{delta mathbf {u_{1}} }}&cdots &{frac {delta mathbf {f_{n}} }{delta mathbf {u_{p}} }}end{bmatrix}}} .

Аналогично для функции выхода:

δ h δ x = [ δ h 1 δ x 1 ⋯ δ h 1 δ x n ⋮ ⋱ ⋮ δ h q δ x 1 ⋯ δ h q δ x n ] δ h δ u = [ δ h 1 δ u 1 ⋯ δ h 1 δ u p ⋮ ⋱ ⋮ δ h q δ u 1 ⋯ δ h q δ u p ] {displaystyle {frac {delta mathbf {h} }{delta mathbf {x} }}={egin{bmatrix}{frac {delta mathbf {h_{1}} }{delta mathbf {x_{1}} }}&cdots &{frac {delta mathbf {h_{1}} }{delta mathbf {x_{n}} }}vdots &ddots &vdots {frac {delta mathbf {h_{q}} }{delta mathbf {x_{1}} }}&cdots &{frac {delta mathbf {h_{q}} }{delta mathbf {x_{n}} }}end{bmatrix}}quad {frac {delta mathbf {h} }{delta mathbf {u} }}={egin{bmatrix}{frac {delta mathbf {h_{1}} }{delta mathbf {u_{1}} }}&cdots &{frac {delta mathbf {h_{1}} }{delta mathbf {u_{p}} }}vdots &ddots &vdots {frac {delta mathbf {h_{q}} }{delta mathbf {u_{1}} }}&cdots &{frac {delta mathbf {h_{q}} }{delta mathbf {u_{p}} }}end{bmatrix}}}

Учитывая δ x ˙ = x ˙ − x ~ ˙ = x ˙ {displaystyle delta mathbf {dot {x}} =mathbf {dot {x}} -mathbf {dot { ilde {x}}} =mathbf {dot {x}} } , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

где

A = δ f δ x B = δ f δ u C = δ h δ x D = δ h δ u {displaystyle mathbf {A} ={frac {delta mathbf {f} }{delta mathbf {x} }}quad mathbf {B} ={frac {delta mathbf {f} }{delta mathbf {u} }}quad mathbf {C} ={frac {delta mathbf {h} }{delta mathbf {x} }}quad mathbf {D} ={frac {delta mathbf {h} }{delta mathbf {u} }}} .

Примеры

Модель в пространстве состояний для маятника

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

m l θ ¨ ( t ) = − m g sin ⁡ θ ( t ) − k l θ ˙ ( t ) {displaystyle ml{ddot { heta }}(t)=-mgsin heta (t)-kl{dot { heta }}(t)}

где

  • θ ( t ) {displaystyle heta (t)} — угол отклонения маятника.
  • m {displaystyle m} — приведённая масса маятника
  • g {displaystyle g} — ускорение свободного падения
  • k {displaystyle k} — коэффициент трения в подшипнике подвеса
  • l {displaystyle l} — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

x 1 ˙ ( t ) = x 2 ( t ) {displaystyle {dot {x_{1}}}(t)=x_{2}(t)} x 2 ˙ ( t ) = − g l sin ⁡ x 1 ( t ) − k m x 2 ( t ) {displaystyle {dot {x_{2}}}(t)=-{frac {g}{l}}sin {x_{1}}(t)-{frac {k}{m}}{x_{2}}(t)}

где

  • x 1 ( t ) := θ ( t ) {displaystyle x_{1}(t):= heta (t)} — угол отклонения маятника
  • x 2 ( t ) := x 1 ˙ ( t ) {displaystyle x_{2}(t):={dot {x_{1}}}(t)} — угловая скорость маятника
  • x 2 ˙ ( t ) := x 1 ¨ ( t ) {displaystyle {dot {x_{2}}}(t):={ddot {x_{1}}}(t)} — угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

x ˙ ( t ) = ( x 1 ˙ ( t ) x 2 ˙ ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) = ( x 2 ( t ) − g l sin ⁡ x 1 ( t ) − k m x 2 ( t ) ) {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=left({egin{matrix}{dot {x_{1}}}(t){dot {x_{2}}}(t)end{matrix}} ight)=mathbf {f} (t,x(t))=left({egin{matrix}x_{2}(t)-{frac {g}{l}}sin {x_{1}}(t)-{frac {k}{m}}{x_{2}}(t)end{matrix}} ight)} .

Линеаризация модели маятника

Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия ( x ~ 1 = 0 ) {displaystyle left({ ilde {x}}_{1}=0 ight)} имеет вид:

δ f δ x = ( 0   1 − g l cos ⁡ x ~ 1   − k m ) = ( 0   1 − g l   − k m ) {displaystyle {frac {delta mathbf {f} }{delta mathbf {x} }}=left({egin{matrix}0& 1-{frac {g}{l}}cos {{ ilde {x}}_{1}}& -{frac {k}{m}}end{matrix}} ight)=left({egin{matrix}0& 1-{frac {g}{l}}& -{frac {k}{m}}end{matrix}} ight)}

При отсутствии трения в подвесе (k = 0) получим уравнение движения математического маятника:

x ¨ = − g l x {displaystyle {ddot {x}}=-{frac {g}{l}}x}