Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




02.03.2021


28.02.2021


26.02.2021


24.02.2021


24.02.2021





Яндекс.Метрика





         » » Трёхцветная раскраска

Трёхцветная раскраска

07.02.2021

В теории узлов раскрашиваемость в три цвета узла — это возможность раскрасить узел в три цвета, придерживаясь определённых правил. Раскрашиваемость в три цвета является изотопическим инвариантом, а потому это свойство может быть использовано для различения двух (неизотопных) узлов. В частности, поскольку тривиальный узел не раскрашиваем в три цвета, любой раскрашиваемый узел будет нетривиальным.

Правила раскрашивания

Узел раскрашиваем, если каждая нить диаграммы узла может быть выкрашена одним из трёх цветов при выполнении следующих правил:

1. Должны быть использованы по меньшей мере два цвета 2. На каждом перекрёстке три нити должны быть либо все одного цвета, либо все разного (нить сверху на перекрёстке цвета не меняет, а нить снизу считается двумя разными нитями).

Замечания

  • Некоторые источники требуют, чтобы использовались все три цвета . Для узлов это эквивалентно вышеприведённому определению, а вот для зацеплений это не так.

Примеры

Пример раскраски узла согласно вышеприведённым правилам. Обычно для раскраски используются красный, зелёный и синий цвета.

«Трилистник и тривиальное 2-зацепление раскрашиваемы в три цвета, но тривиальный узел, зацепление Уайтхеда и восьмёрка не раскрашиваемы.

Пример раскрашиваемого в три цвета узла

Бабий узел можно раскрасить в три цвета. В этой раскраске три нити на каждом пересечении имеют три различных цвета. Узел состоит из двух трилистников, и раскраска одного из двух (но не обоих) трилистников полностью в красный цвет также даёт допустимую раскраску. Узел «истинной дружбы» также является раскрашиваемым в три цвета

Пример не раскрашиваемого в три цвета узла

Восьмёрку нельзя раскрасить в три цвета. На показанной диаграмме узел имеет четыре нити, из которых любая пара встречается на каком-либо перекрёстке. Если три из нитей имеют один и тот же цвет, то и четвёртая нить должна иметь тот же цвет. В противном случае каждая из этих четырёх нитей должна иметь свой цвет. Поскольку раскрашиваемость в три цвета является инвариантом узла, никакая из диаграмм этого узла не может быть выкрашена в три цвета.

Свойства

  • Если проекция узла раскрашиваема в три цвета, то движения Рейдемейстера на узле сохраняют раскрашиваемость, так что либо все проекции узла раскрашиваемы в три цвета, либо никакая проекция не поддаётся раскраске». Иначе говоря, раскрашиваемость в три цвета является изотопическим инвариантом, свойством узла или зацепления, которое остаётся неизменным при любой объемлющей изотопии.
    • Это можно доказать, если рассматривать движения Рейдемейстера. Поскольку каждое движение Рейдемейстера может быть осуществлено без изменения свойства раскрашиваемости, это свойство является изотопическим инвариантом.
  • Поскольку раскраска в три цвета является бинарной классификацией (зацепление раскрашиваемо или нет), это относительно слабый инвариант. Сумма раскрашиваемого узла с другим узлом всегда раскрашиваема.
    • Путь усиления этого инварианта — посчитать число возможных раскрасок в три цвета. В этом случае отказываемся от правила, что используются по меньшей мере два цвета, и теперь любое зацепление имеет по меньшей мере три раскраски (просто раскрашиваем все дуги в один и тот же цвет). Теперь зацепление считается раскрашиваемым в три цвета, если оно имеет более трёх различных раскрашиваний.
  • Любое разделимое зацепление с раскрашиваемой отделимой компонентой является также раскрашиваемым в три цвета.
  • Если торический узел или зацепление ( m , n ) {displaystyle (m,n)} , можно раскрасить в три цвета, то это же верно и для ( j ⋅ m , i ⋅ n ) {displaystyle (j{cdot }m,i{cdot }n)} и ( i ⋅ n , j ⋅ m ) {displaystyle (i{cdot }n,j{cdot }m)} для любых натуральных i {displaystyle i} и j {displaystyle j} .