Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




24.02.2021


24.02.2021


22.02.2021


20.02.2021


19.02.2021





Яндекс.Метрика





         » » Додекаэдральное число

Додекаэдральное число

07.02.2021

Додекаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с додекаэдром . Общая формула для n {displaystyle n} -го по порядку додекаэдрального числа D n {displaystyle D_{n}} :

D n = n ( 3 n − 1 ) ( 3 n − 2 ) 2 {displaystyle D_{n}=n{frac {(3n-1)(3n-2)}{2}}}

Первые из додекаэдральных чисел (последовательность A006566 в OEIS):

1 , 20 , 84 , 220 , 455 , 816 , 1330 , 2024 , 2925 , 4060 … {displaystyle 1,20,84,220,455,816,1330,2024,2925,4060dots }

Рекуррентная формула:

D n = D n − 1 + 27 n 2 − 45 n + 20 2 ; D 1 = 1 {displaystyle D_{n}=D_{n-1}+{frac {27n^{2}-45n+20}{2}};quad D_{1}=1}

Производящая функция последовательности:

x ( 1 + 16 x + 10 x 2 ) ( x − 1 ) 4 = ∑ n = 1 ∞ D n x n ; | x | < 1 {displaystyle {frac {x(1+16x+10x^{2})}{(x-1)^{4}}}=sum _{n=1}^{infty }D_{n}x^{n};quad |x|<1}

Связь с тетраэдральными числами T n {displaystyle mathbb {T} _{n}} :

D n = T n + 16 T n − 1 + 10 T n − 2 ( n > 2 ) {displaystyle D_{n}=mathbb {T} _{n}+16mathbb {T} _{n-1}+10mathbb {T} _{n-2}quad (n>2)}

Из общей формулы видно, что додекаэдральное число всегда составное (делится на n {displaystyle n} ).